Rozbor úloh

Rozbor úloh

1. Riešte sústavu lineárnych algebrických rovníc a urobte skúšku správnosti.
$$
\begin{array}{ccc}
 2x_1-x_2-x_3&=&4\\
 3x_1+4x_2-2x_3&=&11\\
 3x_1-2x_2+4x_3&=&11\\
\end{array}
$$ (Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Sústava lineárnych algebrických rovníc - Príklad 4.)

2.Zistite, či vektory $\vec{a}=(1;2;3)$, $\vec{b}=(2;-1;1)$, $\vec{c}=(1;7;8)$ sú lineárne závislé alebo nezávislé. (Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov - Príklad 2.)

3. Vypočítajte determinant
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1& 1&1\\
1 & 2& 3&4\\
1 & 3& 6&10\\
1 & 4& 10&20\\
\end{array} \right|
$$ (Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Determinanty - Príklad 6.)

4.  Nájdite všetky matice $X$ spĺňajúce danú maticovú rovnicu
$$X\cdot A= B\cdot C^{\mathrm{T}}\ ,\text{ ak}$$
$$
A= \left(\begin{array}{rr} -2 & 1  \\ -7 &3 \end{array}\right),
B= \left(\begin{array}{rrr} -1& 3 &-4 \\ 1& 2 & 0 \end{array}\right),
C= \left(\begin{array}{rrr} 0& -2 &-3 \\ 4& 3 & -1 \end{array}\right)
$$
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Maticová rovnica - Príklad 1.)

5. Určte definičný obor nasledujúcej funkcie.
$$f: y= \sqrt{4-x^2}+\frac{1}{x-1}$$
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Definičný obor funkcie - Príklad 6.)

6. Vypočítajte limitu $$\lim_{x\rightarrow -1} \frac{x^2-x-2}{x+1}.$$
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Limita funkcie - Príklad 1.)

7. Nájdite prvých p䝻 členov a znázornite graf postupnosti $a_n$, ktorej $n$-tý člen je daný vzorcom:
$$ a_n=3+\frac{1}{n}$$
Určte limitu tejto postupnosti.
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Postupnosti - Príklad 1.)

8. Nájdite rovnicu dotyčnice v bode $ T=[1;y_0]$ ku krivke
$$ y=3x(2-x).$$
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Geometrický význam derivácie funkcie - Príklad 1.)

9. Vypočítajte deriváciu funkcie a výsledok upravte.
$$ g(x)=\frac{\ln{x}}{x}+ e^x(\sin x+ \cos x)$$
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Derivácia funkcie - Príklad 10.)

10. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v danom intervale.
$$g(x)=x^2\cdot e^{-x},\, x\in\left\langle -1,1\right\rangle $$
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Najväčšia a najmenšia hodnota spojitej funkcie v uzavretom intervale - Príklad 1.)