Determinanty - Príklad 6

Determinanty

Príklad 6

Vypočítajte nasledujúci determinant:
$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 1& 1&1\\
1 & 2& 3&4\\
1 &3& 6&10\\
1& 4& 10&20\\
\end{array} \right|
$$

Riešenie

$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 1& 1&1\\
1 & 2& 3&4\\
1 &3& 6&10\\
1& 4& 10&20\\
\end{array} \right|=
$$
Mínus jeden násobok prvého riadku pripočítame postupne k riadku dva, tri a štyri. Dostávame determinant z matice $4\times 4$, ktorý má v prvom riadku, v prvom stĺpci číslo 1 a pod nim samé nuly.
$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 1& 1&1\\
0 & 1& 2&3\\
0 &2& 5&9\\
0& 3& 9&19\\
\end{array} \right|=
$$
Ďalej by sme mohli pokračovať:

• rozvojom podľa prvého stĺpca,
• úpravou matice na hornú trojuholníkovú maticu.

Zvolíme si úpravu na hornú trojuholníkovú maticu.
Horná trojuholníková matica je taká matica, ktorá má rôzne čísla na hlavnej diagonále a nad ňou a pod hlavnou diagonálou iba nuly.
K tretiemu riadku matice pripočítame mínus dvojnásobok riadku dva a k štvrtému riadku pripočítame mínus trojnásobok riadku dva.
$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 1& 1&1\\
0 & 1& 2&3\\
0 &0&1&3\\
0& 0& 3&10\\
\end{array} \right|=
$$
K štvrtému riadku matice pripočítame mínus trojnásobok riadku tri.
$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 1& 1&1\\
0 & 1& 2&3\\
0 &0&1&3\\
0& 0& 0&1\\
\end{array} \right|= 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=1
$$