Geometrický význam derivácie funkcie - Príklad 3

Geometrický význam derivácie funkcie 

Príklad 3

Nájdite rovnicu dotyčnice ku krivke $ y= \ln x$, ktorá je kolmá na priamku $ x+2y-5=0$.

Riešenie:

Označme dotyčnicu ku krivke $y= \ln x$ písmenom $t$ a priamku $ x+2y-5=0$ písmenom $p$.

Priamka $p$ je daná všeobecnou rovnicou. Upravíme danú rovnicu do smernicového tvaru, t.j. $y=kx+g$, kde číslo $k$ je smernicou priamky a $g$ je číslo. Dostávame
$$\begin{array}{rcl}
x+2y-5&=&0\\
2y&=&5-x\\
y&=&\frac{5-x}{2}\\
y&=&\frac{5}{2}-\frac{x}{2}\\
y&=&-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\\
\end{array}$$

Keďže dotyčnica $t$ je kolmá na priamku $p$ o ich smerniciach platí
$$k_t\cdot k_p=-1.$$
Teda smernica dotyčnice je
$$\begin{array}{rcl}
 k_t\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1\\
 k_t=2\\
\end{array}$$

Priamka $t$ a krivka $f: y= \ln x$ majú jediný spoločný bod. Označme jeho súradnice takto $T=[x_0,y_0]$. 

Vieme, že derivácia funkcie $f$
$$
(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}
$$
v bode $x_0$ sa rovná smernici dotyčnice ku krivke.
Teda $ \frac{1}{x_0}=k_t$, kde  $ k_t=2$ teda $ \frac{1}{x_0}=2$ a $ x_0=\frac{1}{2}$.
Je potrebné ešte určiť druhú súradnicu dotykového bodu. Keďže $T\in f$ spĺňa rovnicu funkcie $f$:
$$\begin{array}{rcl}
y_0&=& \ln x_0\\
y_0&=& \ln \frac{1}{2}\\
\end{array}
$$
Dotykový bod má súradnice:
$$
T=\left[\frac{1}{2},\ln \frac{1}{2}\right]
$$
Vo všeobecnosti má rovnica dotyčnice tvar $y-y_0=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$.
$$\begin{array}{rcl}
y-\ln \frac{1}{2}&=&2\left(x-\frac{1}{2}\right)\\
y&=&2x-1+\ln \frac{1}{2}\\
\end{array}$$

Rovnica dotyčnice $t$ má rovnicu $y=2x+\ln \frac{1}{2}-1$.

Vybrané druhy limít

Limity typu "e"

Veta Ak pre postupnost ${a_n}_{n=1}^{\infty}$ platí $\lim_{n\to \infty} \left|a_{n}\right|=\infty$ a mocnina $\left(1+\frac{1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}$ je definovaná pre $\forall n\in N$, potom platí:
$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}=e.$$

Túto vetu využívame pri riešení limít s neurčitosťou typu $1^{\infty}.$

 

Príklad 1

Vypočítajte nasledujúce limity:

1. $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{3n}\right)^{n}$
2. $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{2n}\right)^{n}$
3. $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n}{3n+2}\right)^{n}$

Riešenie 

1. Limita $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{3n}\right)^{n}$ je limita typu $1^{\infty}$, čo si môžeme overiť po dosadení, takúto neurčitosť nevieme priamo vypočítať a preto využijeme vyššie uvedený vzťah. Aby sme tento vzťah mohli použiť musíme limitu upraviť do požadovaného tvaru. Najprv rozdelíme čitateľa na dva samostatné zlomky.
   
   $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{3n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n}{3n}+\frac{2}{3n}\right)^{n}$$
   
    Následne prvý zlomok vydelíme a dostávame chýbajúcu 1, druhý zlomok predelíme 2, aby sme dostali v menovateli 1.
   
   $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2}{3n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{n}$$.
   
   Na to aby sme mohli využiť vyššie spomínanú vetu potrebujeme mať v mocnine $\frac{3n}{2}$, preto rozšírime mocninu číslom $\frac{3}{2}$, t.j. násobíme  $\frac{3}{2}$ čitateľa aj menovateľa mocniny, keďže pre zlomky platí vzťah $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$, môžeme mocninu rozšíriť $\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}$.
   
   $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{\frac{3n}{2}\cdot \frac{2}{3}}$$.
   
   Po úprave dostávame:
   
   $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{\frac{3n}{2}\cdot \frac{2}{3}}=\left[\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{\frac{3n}{2}}\right]^{\frac{2}{3}}$$.
   
   Po aplikovaní vyššie spomínanej vety teda máme:
   
   $$\left[\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{\frac{3n}{2}}\right]^{\frac{2}{3}}=e^{\lim_{n\to \infty}\frac{2}{3}}=e^{\frac{2}{3}}$$
    
2. Limita $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{2n}\right)^{n}$ je taktiež limitou typu $1^{\infty}$, teda postupujeme obdobne ako v predchádzajúcom príklade. No využijeme iný typ úpravy, aby sme osamostatnili jednotku, pripočítame aj odpočítame ju k postupnosti.
   
   $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{2n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2n+2}{2n}-1\right)^{n}$$
   
   Keďže druhú jednotku nepotrebujeme, dáme zlomok aj -1 na spoločného menovateľa a upravíme zlomok na požadovaný tvar.
   
   $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2n+2}{2n}-1\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2n+2}{2n}-\frac{2n}{2n}\right)^{n}=$$ $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2}{2n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{2n}{2}}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$$
   
   Následne využijeme vetu a dostávame:
   
   $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e$$
3. Posledná limita $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n}{3n+2}\right)^{n}$ je typu $1^{\infty}$. Na tejto limite si ukážeme tretí spôsob úpravy, aby sme dostali požadovaný tvar, a to tak že čitateľ zlomku rozšírime pričítaním a odčítaním výrazu v menovateli, následne zlomok rozložíme na dva zlomky tak, aby sme dostali 1. Následné úpravy sú totožné ako v prvom príklade.
   
   $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n}{3n+2}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+(3n+2)-(3n+2)}{3n+2}\right)^{n}=$$ $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{3n+2}+\frac{3n-(3n+2)}{3n+2}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{3n-3n-2}{3n+2}\right)^{n}=$$ $$\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{2}{3n+2}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{\frac{3n+2}{2}}\right)^{n\cdot\frac{3n+2}{2}\cdot\frac{2}{3n+2}}= \left[\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{\frac{3n+2}{2}}\right)^{\frac{3n+2}{2}}\right]^{n\cdot\frac{2}{3n+2}}=$$ $$\left[\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{\frac{3n+2}{2}}\right)^{\frac{3n+2}{2}}\right]^{\frac{2n}{3n+2}}=e^{- \lim_{n\to \infty}\frac{2n}{3n+2}}=e^{- \lim_{n\to \infty}\frac{2}{3+\frac{2}{n}}}=e^{-\frac{2}{3}}$$ 

Limity typu $k^{\infty}$

 
Ďalším typom limít, sú limity typu $k^{\infty}$, pri týchto limitách môžeme využiť známe vzťahy:
$$\lim_{n\to \infty} k^n=+\infty, \text{ kde } k>1$$
$$\lim_{n\to \infty} k^n=0, \text{ kde } k<1$$

Príklad 2

Vypočítajte nasledujúce limity:

1. $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{2n}\right)^{n}$ 
2. $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{3n}\right)^{n}$ 

Riešenie

1. Limita $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{2n}\right)^{n}$ , ako aj nasledujúca limita zvádza použiť vzťah/vetu, ktorú sme doteraz používali no nie je to limita typu $1^{\infty}$, ale ide o limitu typu $k^{\infty}$, kde $k\neq 1$.
   
   Limity daného typu riešime rozšírením zlomku najväčšou mocninou $n$ v menovateli teda dostávame
   
   $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{2n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3+\frac{2}{n}}{2}\right)^{n}=\left(\frac{3}{2}\right)^{\infty}=\infty$$ 
   
   POZNÁMKA: Ak by sme limitu riešili pomocou úpravy na "e" tvar, síce dostaneme v tomto prípade rovnaký výsledok ale postup je nesprávny, teda príklad je zle vyriešený!!
2. Limitu $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{3n}\right)^{n}$ riešime rovnako ako v predchádzajúcom príklade a teda:
   
   $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{3n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2+\frac{2}{n}}{3}\right)^{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{\infty}=0$$