Geometrický význam derivácie funkcie - Príklad 3

Geometrický význam derivácie funkcie 

Príklad 3

Nájdite rovnicu dotyčnice ku krivke $y= \ln x$, ktorá je kolmá na priamku $x+2y-5=0$.

Riešenie:

Označme dotyčnicu ku krivke $y= \ln x$ písmenom $t$ a priamku $x+2y-5=0$ písmenom $p$.

Priamka $p$ je daná všeobecnou rovnicou. Upravíme danú rovnicu do smernicového tvaru, t.j. $y=kx+g$, kde číslo $k$ je smernicou priamky a $g$ je číslo. Dostávame
$$\begin{array}{rcl} x+2y-5&=&0\\ 2y&=&5-x\\ y&=&\frac{5-x}{2}\\ y&=&\frac{5}{2}-\frac{x}{2}\\ y&=&-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\\ \end{array}$$

Keďže dotyčnica $t$ je kolmá na priamku $p$ o ich smerniciach platí
$$k_t\cdot k_p=-1.$$
Teda smernica dotyčnice je
$$\begin{array}{rcl}  k_t\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1\\  k_t=2\\ \end{array}$$

Priamka $t$ a krivka $f: y= \ln x$ majú jediný spoločný bod. Označme jeho súradnice takto $T=[x_0,y_0]$. 

Vieme, že derivácia funkcie $f$
$$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$$
v bode $x_0$ sa rovná smernici dotyčnice ku krivke.
Teda $\frac{1}{x_0}=k_t$, kde  $k_t=2$ teda $\frac{1}{x_0}=2$ a $x_0=\frac{1}{2}$.
Je potrebné ešte určiť druhú súradnicu dotykového bodu. Keďže $T\in f$ spĺňa rovnicu funkcie $f$:
$$\begin{array}{rcl} y_0&=& \ln x_0\\ y_0&=& \ln \frac{1}{2}\\ \end{array}$$
Dotykový bod má súradnice:
$$T=\left[\frac{1}{2},\ln \frac{1}{2}\right]$$
Vo všeobecnosti má rovnica dotyčnice tvar $y-y_0=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$.
$$\begin{array}{rcl} y-\ln \frac{1}{2}&=&2\left(x-\frac{1}{2}\right)\\ y&=&2x-1+\ln \frac{1}{2}\\ \end{array}$$

Rovnica dotyčnice $t$ má rovnicu $y=2x+\ln \frac{1}{2}-1$.