Priebeh funkcie
Šablóna
Príklad: Vyšetrite priebeh funkcie f(x)=Riešenie:
1. Určiť definičný obor funkcie:
2. Vyšetriť párnosť a nepárnosť funkcie
- Definičný obor je symetrický a platí: f(-x)=f(x), tak je funkcia f je párna.
- Definičný obor je symetrický a platí: f(-x)=-f(x), tak funkcia f je nepárna.
f(-x)=
-f(x)=
3. Určiť priesečníky so súradnicovými osami
Priesečník s osou o_{y} je možné zistiť tak, že v predpise funkcie položíme x=0 a vypočítame y. Priesečník s osou o_{x} je možné zistiť tak, že v predpise funkcie položíme y=0 a vypočítame x.
Priesečník s osou o_{y} má súradnice [0, ].
Priesečník s osou o_{x} má súradnice [ ,0].
4. Vypočítať limity funkcie v koncových bodoch definičného oboru a v bodoch nespojitosti
\begin{array}{rcc} \lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)&=&\\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)&=&\\ \end{array}
V bodoch nespojitosti vypočítame jednostranné limity:
\begin{array}{rcc} \lim\limits_{x\rightarrow c^{+}}f(x)&=&\\ \lim\limits_{x\rightarrow c^{-}}f(x)&=&\\ \end{array}
Ak sú jednostranné limity nevlastné čísla, tak priamka x=c je asymptota bez smernice.
5. Vyjadrenie asymptot so smernicou
Asymptoty so smernicou sú priamky v tvare y=k_1x+q_1 a y=k_2x+q_2, ktorej koeficienty vypočítame podľa nasledujúcich vzťahov:
\begin{array}{rcl} k_1&=& \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=\\ q_1 &=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (f(x)-k_1\cdot x)=\\ k_2&=& \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}=\\ q_2 &=&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (f(x)-k_1\cdot x)=\\ \end{array}
koeficienty k_1, q_1 a k_2, q_2 musia by vlastné čísla.
6. Prvá derivácia funkcie
f^{\prime}(x)=
7. Určiť stacionárne body a vyšetriť monotónnosť funkcie
Stacionárne body sú čísla z definičného oboru funkcie f(x), v ktorých je \displaystyle f^{\prime}(x)= 0.
Tieto stacionárne body rozdelia definičný obor funkcie f na intervaly. V daných intervaloch určíme znamienko prvej derivácie.
Ak \displaystyle f^{\prime}(x)> 0, tak funkcia f je na intervale rastúca.
Ak \displaystyle f^{\prime}(x)< 0, tak funkcia f je na intervale klesajúca.
8. Druhá derivácia funkcie
f^{\prime\prime}(x)=
9. Určiť inflexné body a vyšetriť konkávnosť a konvexnosť funkcie
Inflexné body sú čísla z definičného oboru funkcie f(x), v ktorých je \displaystyle f^{\prime\prime}(x)= 0 a mení sa v nich priebeh funkcie z konvexnej na konkávnu alebo naopak .
Ak \displaystyle f^{\prime\prime}(x)> 0, tak funkcia f je na intervale konvexná.
Ak \displaystyle f^{\prime\prime}(x)< 0, tak funkcia f je na intervale konkávna.
10. Monotónnosť, lokálne extrémy, konvexnosť a konkávnosť, stacionárne body, inflexné body a body v ktorých neexistuje prvá a druhá derivácia funkcie rozdelia celý definičný obor na intervaly v ktorých určujeme znamienko prvej a druhej derivácie, zapíšeme ich do tabuľky.
11. Graf funkcie