Processing math: 0%

nedeľa 31. októbra 2021

 Priebeh funkcie 


Šablóna 

Príklad: Vyšetrite priebeh funkcie f(x)=

Riešenie:
1. Určiť definičný obor funkcie:

2. Vyšetriť párnosť a nepárnosť funkcie
  • Definičný obor je symetrický a platí: f(-x)=f(x), tak je funkcia f je párna.
  • Definičný obor je symetrický a platí: f(-x)=-f(x), tak funkcia  f je nepárna.
Určiť
f(-x)=
-f(x)=

3. Určiť priesečníky so súradnicovými osami
Priesečník s osou o_{y} je možné zistiť tak, že v predpise funkcie položíme x=0 a vypočítame y. Priesečník s osou o_{x}  je možné zistiť tak, že v predpise funkcie položíme y=0 a vypočítame x.

Priesečník s osou o_{y} má súradnice [0, ].
Priesečník s osou o_{x} má súradnice [ ,0].

4. Vypočítať limity funkcie v koncových bodoch definičného oboru a v bodoch nespojitosti

\begin{array}{rcc} \lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)&=&\\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)&=&\\ \end{array}
V bodoch nespojitosti vypočítame jednostranné limity:
\begin{array}{rcc} \lim\limits_{x\rightarrow c^{+}}f(x)&=&\\ \lim\limits_{x\rightarrow c^{-}}f(x)&=&\\  \end{array}
Ak sú jednostranné limity nevlastné čísla, tak priamka x=c je asymptota bez smernice.

5. Vyjadrenie asymptot so smernicou
Asymptoty so smernicou sú priamky v tvare y=k_1x+q_1 a y=k_2x+q_2, ktorej koeficienty vypočítame podľa nasledujúcich vzťahov:
\begin{array}{rcl} k_1&=& \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=\\ q_1 &=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (f(x)-k_1\cdot x)=\\ k_2&=& \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}=\\ q_2 &=&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (f(x)-k_1\cdot x)=\\ \end{array}
koeficienty k_1, q_1 a k_2, q_2 musia by vlastné čísla.

6. Prvá derivácia funkcie
f^{\prime}(x)=

7. Určiť stacionárne body a vyšetriť monotónnosť funkcie
Stacionárne body sú čísla z definičného oboru funkcie f(x), v ktorých je \displaystyle f^{\prime}(x)= 0.

Tieto stacionárne body rozdelia definičný obor funkcie f na intervaly. V daných intervaloch určíme znamienko prvej derivácie.
Ak  \displaystyle f^{\prime}(x)> 0, tak funkcia f je na intervale rastúca.
Ak  \displaystyle f^{\prime}(x)< 0, tak funkcia f je na intervale klesajúca.

8. Druhá derivácia funkcie
f^{\prime\prime}(x)=

9. Určiť inflexné body a vyšetriť konkávnosť a konvexnosť funkcie
Inflexné body sú čísla z definičného oboru funkcie f(x), v ktorých je \displaystyle f^{\prime\prime}(x)= 0 a mení sa v nich priebeh funkcie z konvexnej na konkávnu alebo naopak .
Ak  \displaystyle f^{\prime\prime}(x)> 0, tak funkcia f je na intervale konvexná.
Ak  \displaystyle f^{\prime\prime}(x)< 0, tak funkcia f je na intervale konkávna.

10. Monotónnosť, lokálne extrémy, konvexnosť a konkávnosť, stacionárne body, inflexné body a body v ktorých neexistuje prvá a druhá derivácia funkcie rozdelia celý definičný obor na intervaly v ktorých určujeme znamienko prvej a druhej derivácie, zapíšeme ich do tabuľky.

11. Graf funkcie

Definičný obor funkcie - Príklad 5

Definičný obor funkcie


Príklad 5


Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
f: y=\arcsin (3x-7)

Riešenie:

Argument funkcie \arcsin je z intervalu \langle-1, 1\rangle.
 -1\leq 3x-7 \leq 1
Tento zápis znamená, že riešime dve nerovnice -1\leq 3x-7 a zároveň 3x-7\leq 1.
Tieto nerovnice budeme riešiť súčasne:
6\leq 3x\leq 8
2\leq x\leq \frac{8}{3}
Prienikom podmienok 2\leq x  a x\leq \frac{8}{3} je interval: \left\langle2, \frac{8}{3}\right\rangle, ktorý je definičným oborom funkcie f.

piatok 29. októbra 2021

Geometrický význam derivácie funkcie - Príklad 2

Geometrický význam derivácie funkcie 


Príklad 2

Nájdite rovnicu dotyčnice a normály v bode T=[?;1] ku krivke.
y(x)= \ln x.

Riešenie:


Najprv dopočítame súradnice dotykového bodu. Keďže T\in f musí spĺňať rovnicu tejto krivky.
\begin{array}{rrl} 1&=& \ln x\\ \ln e&=& \ln x\\ e&=& x\\ \end{array}
Súradnice dotykového bodu sú T=[e;1].

Rovnica dotyčnice y-y_0=f^{\prime} (x_0)(x-x_0), kde f^{\prime} (x_0) (ozn. tiež ako k) je smernica dotyčnice ku krivke f.

Smernica priamky (dotyčnice) je \tan\alpha, kde \alpha je uhol, ktorý zviera priamka (dotyčnica) s priamkou y=0 resp. osou x .
Túto smernicu vypočítame pomocou prvej derivácie funkcie a súradníc dotykového bodu:
\begin{array}{rrr} f^{\prime}(x)&=& \frac{1}{x}\\ f^{\prime}(e)&=& \frac{1}{e}\\ \end{array}

Do rovnice y-y_0=f^{\prime} (x_0)(x-x_0) dosadíme súradnice dotykového bodu a smernicu. Dostávame
\begin{array}{rll} y-1&=& \frac{1}{e}(x-e)\\ y-1&=& \frac{x}{e}- \frac{e}{e}\\ y-1&=& \frac{x}{e}- 1\\ y&=& \frac{x}{e}\\ \end{array}
Rovnica dotyčnice (v smernicovom tvare) je
y= \frac{x}{e}.

Normála je priamka, ktorá je kolmá na dotyčnicu v bode dotyku T.

Pre smernice dvoch kolmých priamok platí nasledujúci vzťah
k_n \cdot k_t =-1,
kde k_n je smernica normály a k_t je smernica dotyčnice.

Teda
\begin{array}{rlr} k_n &=&-\frac{1}{k_t}\\ k_n &=&-\frac{1}{\frac{1}{e}}\\ k_n &=&-e\\ \end{array}
Rovnica normály je  y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime} (x_0)}(x-x_0)
\begin{array}{rrl} y-1&=&-e(x-e)\\ y-1&=&-ex+e^2\\ y&=&-ex+e^2+1\\ \end{array}
Rovnica normály je
 y= e \cdot x+1+e^2.

Základné vlastnosti funkcie


Príklad 3


Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť funkcie

f(x)=\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}

Riešenie: 

Definičný obor funkcie určíme z podmienok:
\begin{array}{rlrlrlr} 3-x&\geq& 0& \wedge& 3+x&\geq&0\\ -x&\geq& -3& & x&\geq&-3\\ x&\leq & 3& & x&\geq&-3\\ \end{array}
D(f)=\left\langle -3; 3 \right\rangle. Definičný obor funkcie f je symetrický.

Zistíme a porovnáme f(x) a f(-x):
f(-x)=\sqrt{3-(-x)}+\sqrt{3+(-x)}=\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}=f(x).
Keďže f(-x)=f(x), funkcia f je párna.

Základné vlastnosti funkcie


Príklad 3


Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť funkcie

f(x)=3(x-2)^2.

Riešenie: 

Funkcia f(x) =3(x-2)^2 je definovaná pre všetky reálne čísla, t.j.  definičný obor funkcie f je symetrický, teda  pre všetky x\in D(f) je aj -x\in D(f).
Zistíme a porovnáme f(x) a f(-x):
f(-x)=3((-x)-2)^2=3(x+2)^2
Funkcia f nie je ani párna ani nepárna.

Základné vlastnosti funkcie


Príklad 2


Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť funkcie

f(x)=3x^2+2.

Riešenie: 

Funkcia f(x) =3x^2+3 je definovaná pre všetky reálne čísla, t.j.  definičný obor funkcie f je symetrický, teda  pre všetky x\in D(f) je aj -x\in D(f).
Zistíme a porovnáme f(x) a f(-x):
f(-x)=3(-x)^2+3=3x^2+3=f(x).
Keďže f(-x)=f(x), funkcia f je párna.

utorok 26. októbra 2021

Základné vlastnosti funkcie


Príklad 1


Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť funkcie

f(x)=x^2+3.

Riešenie: 

Funkcia f(x) =x^2+3 je definovaná pre všetky reálne čísla, t.j.  definičný obor funkcie f je symetrický, teda  pre všetky x\in D(f) je aj -x\in D(f).
Zistíme a porovnáme f(x) a f(-x):
f(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=f(x).
Keďže f(-x)=f(x), funkcia f je párna.

Definičný obor funkcie


Príklad 8


Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{10}} (3+2x)}.

Riešenie: 

Podmienky:
\begin{array}{rcccccr} \log_{\frac{1}{10}} (3+2x)&\geq& 0&\wedge&3+2x&>&0\\ \log_{\frac{1}{10}} (3+2x)&\geq &\log_{\frac{1}{10}} 1&&2x&>&-3\\ 3+2x&\leq& 1&&x&>&-\frac{3}{2}\\ x&\leq&-1&&&&\\ \end{array}

Prienikom oboch podmienok je interval, ktorý je definičným oborom funkcie f ,
D(f)=\left(-\frac{3}{2}, -1\right\rangle.

Definičný obor funkcie


Príklad 7


Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
f(x)=\sqrt{\log (3+2x)}.

Riešenie: 

Podmienky:
\begin{array}{rcccccr} \log (3+2x)&\geq& 0&\wedge&3+2x&>&0\\ \log (3+2x)&\geq &\log 1&&2x&>&-3\\ 3+2x&\geq& 1&&x&>&-\frac{3}{2}\\ x&\geq&-1&&&&\\ \end{array}

Prienikom oboch podmienok je interval, ktorý je definičným oborom funkcie f ,
D(f)=\left\langle -1, \infty\right).

pondelok 25. októbra 2021

Zložená funkcia - Príklad 2

Zložená funkcia 


Príklad 2


Zostrojte zložené funkcie:
(f\circ g), (g\circ f), (f\circ f), (g\circ g), ak f(x)= \sqrt{x} a \displaystyle g(x)=\frac{1}{x+2}. Ak je to možné, výsledný vzťah zjednodušte.

 

Riešenie:


Definičným oborom danej funkcie f(x)= \sqrt{x} je  D(f)= \langle0,\infty) a funkcie \displaystyle g(x)=\frac{1}{x+2} je D(g)= \mathbb{R}\smallsetminus\{-2\}

1. (f\circ g)(x)=f(g(x))= \sqrt{\frac{1}{x+2}}

Pričom definičný obor kompozície nájdeme z nasledujúcich podmienok:
x\in D(f\circ g) \Leftrightarrow x\in D(g) \wedge g(x)\in D(f)

Definičný obor kompozície D(f\circ g) určíme z nasledujúcich podmienok:
  • x\in D(g)=\mathbb{R}\smallsetminus\{-2\}, teda x\neq-2 a zároveň
  • g(x)\in  D(f)= \langle 0,\infty), teda \displaystyle \frac{1}{x+2}\geq 0. Podiel je kladný, ak menovateľ  x+2 > 0.
D(f\circ g)= (-2, \infty).

2. \displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))= \frac{1}{\sqrt{x}+2}

Pričom definičný obor funkcie D(g\circ f) nájdeme z podmienok:
  • x\in D(f)= \langle 0,\infty), teda x\geq 0 a zároveň
  • f(x)\in D(g)=\mathbb{R}\smallsetminus\{-2\}, teda \sqrt{x}+2\neq 0.
Keďže druhá z podmienok je vždy splnená D(g\circ f)=\langle0, \infty).

3. (f\circ f)(x)=f(f(x))=\sqrt{\sqrt{x}}= \sqrt[4]{x}

Podobne ako v predchádzajúcich prípadoch určíme definičný obor kompozície:
  • x\in D(f), teda x\geq 0 a zároveň
  • f(x)\in D(f), teda \sqrt{x}\geq 0.
D(f\circ f) =\langle 0, \infty)

4. \displaystyle (g\circ g)(x)=g(g(x))= \frac{1}{\frac{1}{x+2}+2}

D(g\circ g)(x) určíme z podmienok:
  • x\in D(g), teda x\neq-2 a zároveň
  • g(x)\in D(g), teda \displaystyle \frac{1}{x+2}\neq-2.
\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{1}{x+2}+2&\neq& 0\\ \frac{2x+5}{x+2}&\neq& 0\\ x&\neq& -\frac{5}{2}\\ \end{array}
\displaystyle D(g\circ g)(x)=\mathbb{R}\smallsetminus\{-2, - \frac{5}{2}\}.

sobota 16. októbra 2021

Postupnosti - Príklad 1

Postupnosti 


Príklad 1


Nájdite prvých p䝻 členov a znázornite graf postupnosti a_n, ktorej n-tý člen je daný vzorcom:
a_n=3+\frac{1}{n}.

Riešenie 

Prvých p䝻 členov postupnosti a_n, ktorej n-tý člen je daný vzorcom a_n=3+\frac{1}{n} nájdeme tak, že za n do vzorca a_n dosadíme 1, 2, ....
a_1 = 3+\frac{1}{1}= 4
a_2 = 3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}
a_3 = 3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}
a_4 = 3+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}
a_5 = 3+\frac{1}{5}=\frac{16}{5}



Riešenie: Prepíšeme členy postupnosti nasledovne:

\frac{2^1}{3^0}, \frac{2^2}{3^1}, \frac{2^3}{3^2}, \frac{2^4}{3^3}, \frac{2^5}{3^4}, \dots

n- tý člen tejto postupnosti je \frac{2^{n}}{3^{n+1}}.


piatok 15. októbra 2021

Determinanty - Príklad 5

Determinanty

Príklad 5

Riešte nasledujúcu nerovnicu:
\left| \begin{array}{lrr} x^2& 4& 9\\ x& 2& 3\\ 1 &1& 1\\ \end{array} \right|>0

Riešenie:

V prvom rade je potrebné vypočítať determinant:

\left| \begin{array}{lrr} x^2& 4& 9\\ x& 2& 3\\ 1 &1& 1\\ \end{array} \right|=2x^2+9x+12-(18+3x^2+4x)=-x^2+5x-6>0

Po výpočte determinantu sa úloha pretransformovala na úlohu:
Riešte kvadratickú nerovnicu:
-x^2+5x-6>0

Na riešenie tejto nerovnice je možné použiť viacero metód. Uvedieme dve základné:
  • I. Metóda nulových bodov,
  • II. grafické riešenie.

I. Metóda nulových bodov:
\begin{eqnarray*} -x^2+5x-6&>&0\\ x^2-5x+6&<&0 \end{eqnarray*}
Nulovým bodom výrazu budeme nazývať také číslo, v ktorom výraz x^2-5x+6=0 nadobúda hodnotu nula.
Výraz  x^2-5x+6=0 je možné napísať v tvare súčinu, podľa nasledujúceho vzťahu:
ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), kde x_1 a x_2 sú korene kvadratickej rovnice  ax^2+bx+c=0.
Korene kvadratickej rovnice môžeme vypočítať napr. podľa vzťahu:
x_{1,2}=\frac{-b\stackrel{+}{-} \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
V našom prípade x^2-5x+6=(x-3)(x-2).

Vidíme, že jeden zo súčiniteľov môže zmeniť znamienko iba v čísle 3 a druhý súčiniteľ iba v čísle 2. Tieto dve čísla rozdeľujú množinu reálnych čísel na tri podintervaly (-\infty, 2), (2, 3\rangle, \langle 3, \infty), v ktorých vyšetríme znamienko súčinu.

V intervale \left(-\infty; 2\right) je prvý aj druhý činiteľ záporný. Výsledný súčin je na tomto intervale kladný.
V intervale \left(2; 3\right) je prvý činiteľ kladný a druhý záporný. Výsledný súčin nadobúda na tomto intervale zápornú hodnotu.
V intervale \left(3;\infty\right) je prvý aj druhý činiteľ kladný. Výsledný súčin je na tomto intervale kladný.

Súčin bude záporný, ak x bude patriť do intervalu: \left(2;3\right).

Riešením tejto nerovnice je teda množina reálnych čísel \left(2;3\right).

II. Grafické riešenie
Grafom funkcie y=-x^2+5x-6 je parabola. V prvom rade nás zaujímajú priesečníky s osou x. Všeobecne takýto priesečník má súradnice P_x=[x;0]. Priesečník zistíme tak, že do predpisu funkcie za y dosadíme 0 a x ponecháme. Takouto úpravou získame kvadratickú rovnicu:
-x^2+5x-6 = 0
V našom prípade má kvadratická rovnica dva reálne korene: 2 a 3.
Parabola, ktorá je grafom tejto funkcie pretína os x práve v týchto dvoch číslach. Keďže koeficient pri x^2 je -1 t.j záporné číslo, bude mať parabola konkávny tvar.


Našou úlohou je riešiť kvadratickú nerovnicu: - x^2+5x-6 > 0. Hodnoty funkcie (tie odčítavame na osi y) majú byť menšie ako nula. To nastane, ako je vidieť z grafu, keď x\in(2;3) .
Keďže  y>0, tak riešením je interval \left(2;3\right).

pondelok 4. októbra 2021

Matice, základné operácie s maticami - Príklad 5

Matice, základné operácie s maticami

 

Príklad 5


Vypočítajte súčet matíc A a B, ak \mathbf{A}=\left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 3 \\ -1 & 1 & 4 \end{array} \right), \mathbf{B}=\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -3 \end{array} \right)

Riešenie:


Najprv skontrolujeme, či sú matice rovnakého typu a následne matice sčítame:
\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{A}=\left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 3 \\ -1 & 1 & 4 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -3 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right)