Priebeh funkcie 

Šablóna 

Príklad: Vyšetrite priebeh funkcie $f(x)=$

Riešenie:
1. Určiť definičný obor funkcie:

2. Vyšetriť párnosť a nepárnosť funkcie

• Definičný obor je symetrický a platí: $f(-x)=f(x)$, tak je funkcia $f$ je párna.
• Definičný obor je symetrický a platí: $f(-x)=-f(x)$, tak funkcia  $f$ je nepárna.

Určiť
$f(-x)=$
$-f(x)=$

3. Určiť priesečníky so súradnicovými osami
Priesečník s osou $o_{y}$ je možné zistiť tak, že v predpise funkcie položíme $x=0$ a vypočítame $y$. Priesečník s osou $o_{x}$  je možné zistiť tak, že v predpise funkcie položíme $y=0$ a vypočítame $x$.

Priesečník s osou $o_{y}$ má súradnice $[0, ]$.
Priesečník s osou $o_{x}$ má súradnice $[ ,0]$.

4. Vypočítať limity funkcie v koncových bodoch definičného oboru a v bodoch nespojitosti

$$\begin{array}{rcc}
\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)&=&\\
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)&=&\\
\end{array}$$
V bodoch nespojitosti vypočítame jednostranné limity:
$$\begin{array}{rcc}
\lim\limits_{x\rightarrow c^{+}}f(x)&=&\\
\lim\limits_{x\rightarrow c^{-}}f(x)&=&\\
 \end{array}$$
Ak sú jednostranné limity nevlastné čísla, tak priamka $x=c$ je asymptota bez smernice.

5. Vyjadrenie asymptot so smernicou
Asymptoty so smernicou sú priamky v tvare $y=k_1x+q_1$ a $y=k_2x+q_2$, ktorej koeficienty vypočítame podľa nasledujúcich vzťahov:
$$\begin{array}{rcl}
k_1&=& \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=\\
q_1 &=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (f(x)-k_1\cdot x)=\\
k_2&=& \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}=\\
q_2 &=&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (f(x)-k_1\cdot x)=\\
\end{array}$$
koeficienty $k_1$, $q_1$ a $k_2$, $q_2$ musia by vlastné čísla.

6. Prvá derivácia funkcie
$f^{\prime}(x)=$

7. Určiť stacionárne body a vyšetriť monotónnosť funkcie
Stacionárne body sú čísla z definičného oboru funkcie $f(x)$, v ktorých je $\displaystyle f^{\prime}(x)= 0$.

Tieto stacionárne body rozdelia definičný obor funkcie $f$ na intervaly. V daných intervaloch určíme znamienko prvej derivácie.
Ak  $\displaystyle f^{\prime}(x)> 0$, tak funkcia $f$ je na intervale rastúca.
Ak  $\displaystyle f^{\prime}(x)< 0$, tak funkcia $f$ je na intervale klesajúca.

8. Druhá derivácia funkcie
$f^{\prime\prime}(x)=$

9. Určiť inflexné body a vyšetriť konkávnosť a konvexnosť funkcie
Inflexné body sú čísla z definičného oboru funkcie $f(x)$, v ktorých je $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)= 0$ a mení sa v nich priebeh funkcie z konvexnej na konkávnu alebo naopak .
Ak  $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)> 0$, tak funkcia $f$ je na intervale konvexná.
Ak  $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)< 0$, tak funkcia $f$ je na intervale konkávna.

10. Monotónnosť, lokálne extrémy, konvexnosť a konkávnosť, stacionárne body, inflexné body a body v ktorých neexistuje prvá a druhá derivácia funkcie rozdelia celý definičný obor na intervaly v ktorých určujeme znamienko prvej a druhej derivácie, zapíšeme ich do tabuľky.

11. Graf funkcie

Definičný obor funkcie - Príklad 5

Definičný obor funkcie

Príklad 5

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
$$
f: y=\arcsin (3x-7)
$$

Riešenie:

Argument funkcie $\arcsin$ je z intervalu $\langle-1, 1\rangle$.
$$
 -1\leq 3x-7 \leq 1
$$
Tento zápis znamená, že riešime dve nerovnice $ -1\leq 3x-7$ a zároveň $ 3x-7\leq 1$.
Tieto nerovnice budeme riešiť súčasne:
$$
6\leq 3x\leq 8
$$
$$
2\leq x\leq \frac{8}{3}
$$
Prienikom podmienok $ 2\leq x$  a $ x\leq \frac{8}{3}$ je interval: $ \left\langle2, \frac{8}{3}\right\rangle$, ktorý je definičným oborom funkcie $f$.

Geometrický význam derivácie funkcie - Príklad 2

Geometrický význam derivácie funkcie 

Príklad 2

Nájdite rovnicu dotyčnice a normály v bode $T=[?;1]$ ku krivke.
$$y(x)= \ln x.$$

Riešenie:

Najprv dopočítame súradnice dotykového bodu. Keďže $T\in f$ musí spĺňať rovnicu tejto krivky.
$$\begin{array}{rrl}
1&=& \ln x\\
\ln e&=& \ln x\\
e&=& x\\
\end{array}$$
Súradnice dotykového bodu sú $T=[e;1]$.

Rovnica dotyčnice $$y-y_0=f^{\prime} (x_0)(x-x_0),$$ kde $f^{\prime} (x_0)$ (ozn. tiež ako $k$) je smernica dotyčnice ku krivke $f$.

Smernica priamky (dotyčnice) je $\tan\alpha$, kde $\alpha$ je uhol, ktorý zviera priamka (dotyčnica) s priamkou $y=0$ resp. osou $x$ .
Túto smernicu vypočítame pomocou prvej derivácie funkcie a súradníc dotykového bodu:
$$\begin{array}{rrr}
f^{\prime}(x)&=& \frac{1}{x}\\

f^{\prime}(e)&=& \frac{1}{e}\\
\end{array}$$

Do rovnice $y-y_0=f^{\prime} (x_0)(x-x_0)$ dosadíme súradnice dotykového bodu a smernicu. Dostávame
$$\begin{array}{rll}
y-1&=& \frac{1}{e}(x-e)\\
y-1&=& \frac{x}{e}- \frac{e}{e}\\
y-1&=& \frac{x}{e}- 1\\
y&=& \frac{x}{e}\\
\end{array}
$$
Rovnica dotyčnice (v smernicovom tvare) je
$$ y= \frac{x}{e}.$$

Normála je priamka, ktorá je kolmá na dotyčnicu v bode dotyku $T$.

Pre smernice dvoch kolmých priamok platí nasledujúci vzťah
$$ k_n \cdot k_t =-1,$$
kde $k_n$ je smernica normály a $ k_t$ je smernica dotyčnice.

Teda
$$\begin{array}{rlr}
k_n &=&-\frac{1}{k_t}\\
k_n &=&-\frac{1}{\frac{1}{e}}\\
k_n &=&-e\\
\end{array}
$$
Rovnica normály je  $$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime} (x_0)}(x-x_0)$$
$$\begin{array}{rrl}
y-1&=&-e(x-e)\\
y-1&=&-ex+e^2\\
y&=&-ex+e^2+1\\
\end{array}$$
Rovnica normály je
$$
 y= e \cdot x+1+e^2.
$$

Základné vlastnosti funkcie

Príklad 3

Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť funkcie

$$f(x)=\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}$$

Riešenie: 

Definičný obor funkcie určíme z podmienok:
$$\begin{array}{rlrlrlr}
3-x&\geq& 0& \wedge& 3+x&\geq&0\\
-x&\geq& -3& & x&\geq&-3\\
x&\leq & 3& & x&\geq&-3\\
\end{array}$$
$D(f)=\left\langle -3; 3 \right\rangle$. Definičný obor funkcie $f$ je symetrický.

Zistíme a porovnáme $f(x)$ a $f(-x)$:
$$f(-x)=\sqrt{3-(-x)}+\sqrt{3+(-x)}=\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}=f(x).$$
Keďže $f(-x)=f(x)$, funkcia $f$ je párna.

Základné vlastnosti funkcie

Príklad 3

Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť funkcie

$$f(x)=3(x-2)^2.$$

Riešenie: 

Funkcia $f(x) =3(x-2)^2$ je definovaná pre všetky reálne čísla, t.j.  definičný obor funkcie $f$ je symetrický, teda  pre všetky $x\in D(f)$ je aj $-x\in D(f)$.
Zistíme a porovnáme $f(x)$ a $f(-x)$:
$$f(-x)=3((-x)-2)^2=3(x+2)^2$$
Funkcia $f$ nie je ani párna ani nepárna.

Základné vlastnosti funkcie

Príklad 2

Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť funkcie

$$f(x)=3x^2+2.$$

Riešenie: 

Funkcia $f(x) =3x^2+3$ je definovaná pre všetky reálne čísla, t.j.  definičný obor funkcie $f$ je symetrický, teda  pre všetky $x\in D(f)$ je aj $-x\in D(f)$.
Zistíme a porovnáme $f(x)$ a $f(-x)$:
$$f(-x)=3(-x)^2+3=3x^2+3=f(x).$$
Keďže $f(-x)=f(x)$, funkcia $f$ je párna.

Základné vlastnosti funkcie

Príklad 1

Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť funkcie

$$f(x)=x^2+3.$$

Riešenie: 

Funkcia $f(x) =x^2+3$ je definovaná pre všetky reálne čísla, t.j.  definičný obor funkcie $f$ je symetrický, teda  pre všetky $x\in D(f)$ je aj $-x\in D(f)$.
Zistíme a porovnáme $f(x)$ a $f(-x)$:
$$f(-x)=(-x)^2+3=x^2+3=f(x).$$
Keďže $f(-x)=f(x)$, funkcia $f$ je párna.

Definičný obor funkcie

Príklad 8

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
$$
f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{10}} (3+2x)}.
$$

Riešenie: 

Podmienky:
$\begin{array}{rcccccr}
\log_{\frac{1}{10}} (3+2x)&\geq& 0&\wedge&3+2x&>&0\\
\log_{\frac{1}{10}} (3+2x)&\geq &\log_{\frac{1}{10}} 1&&2x&>&-3\\
3+2x&\leq& 1&&x&>&-\frac{3}{2}\\
x&\leq&-1&&&&\\
\end{array}$

Prienikom oboch podmienok je interval, ktorý je definičným oborom funkcie $f $,
$D(f)=\left(-\frac{3}{2}, -1\right\rangle$.

Definičný obor funkcie

Príklad 7

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
$$
f(x)=\sqrt{\log (3+2x)}.
$$

Riešenie: 

Podmienky:
$\begin{array}{rcccccr}
\log (3+2x)&\geq& 0&\wedge&3+2x&>&0\\
\log (3+2x)&\geq &\log 1&&2x&>&-3\\
3+2x&\geq& 1&&x&>&-\frac{3}{2}\\
x&\geq&-1&&&&\\
\end{array}$

Prienikom oboch podmienok je interval, ktorý je definičným oborom funkcie $f $,
$D(f)=\left\langle -1, \infty\right)$.

Zložená funkcia - Príklad 2

Zložená funkcia 

Príklad 2

Zostrojte zložené funkcie:
$(f\circ g)$, $(g\circ f)$, $(f\circ f)$, $(g\circ g)$, ak $f(x)= \sqrt{x}$ a $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x+2}$. Ak je to možné, výsledný vzťah zjednodušte.

 

Riešenie:

Definičným oborom danej funkcie $f(x)= \sqrt{x}$ je  $ D(f)= \langle0,\infty)$ a funkcie $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x+2}$ je $ D(g)= \mathbb{R}\smallsetminus\{-2\}$

1. $(f\circ g)(x)=f(g(x))= \sqrt{\frac{1}{x+2}}$

Pričom definičný obor kompozície nájdeme z nasledujúcich podmienok:
$$x\in D(f\circ g) \Leftrightarrow x\in D(g) \wedge g(x)\in D(f)$$

Definičný obor kompozície $D(f\circ g)$ určíme z nasledujúcich podmienok:

• $x\in D(g)=\mathbb{R}\smallsetminus\{-2\}$, teda $x\neq-2$ a zároveň
• $g(x)\in  D(f)= \langle 0,\infty)$, teda $\displaystyle \frac{1}{x+2}\geq 0$. Podiel je kladný, ak menovateľ  $x+2 > 0$.

$D(f\circ g)= (-2, \infty)$.

2. $\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))= \frac{1}{\sqrt{x}+2}$

Pričom definičný obor funkcie $D(g\circ f)$ nájdeme z podmienok:

• $x\in D(f)= \langle 0,\infty)$, teda $ x\geq 0 $ a zároveň
• $f(x)\in D(g)=\mathbb{R}\smallsetminus\{-2\}$, teda $\sqrt{x}+2\neq 0$.

Keďže druhá z podmienok je vždy splnená $ D(g\circ f)=\langle0, \infty)$.

3. $(f\circ f)(x)=f(f(x))=\sqrt{\sqrt{x}}= \sqrt[4]{x}$

Podobne ako v predchádzajúcich prípadoch určíme definičný obor kompozície:

• $x\in D(f)$, teda $ x\geq 0 $ a zároveň
• $f(x)\in D(f)$, teda $\sqrt{x}\geq 0$.

$D(f\circ f) =\langle 0, \infty)$

4. $\displaystyle (g\circ g)(x)=g(g(x))= \frac{1}{\frac{1}{x+2}+2}$

$D(g\circ g)(x)$ určíme z podmienok:

• $x\in D(g)$, teda $x\neq-2$ a zároveň
• $g(x)\in D(g)$, teda $\displaystyle \frac{1}{x+2}\neq-2$.

$$\displaystyle \begin{array}{rcl}
\frac{1}{x+2}+2&\neq& 0\\
\frac{2x+5}{x+2}&\neq& 0\\
x&\neq& -\frac{5}{2}\\
\end{array}
$$
$\displaystyle D(g\circ g)(x)=\mathbb{R}\smallsetminus\{-2, - \frac{5}{2}\}$.

Postupnosti - Príklad 1

Postupnosti 

Príklad 1

Nájdite prvých p䝻 členov a znázornite graf postupnosti $a_n$, ktorej $n$-tý člen je daný vzorcom:
$$ a_n=3+\frac{1}{n}$$.

Riešenie 

Prvých p䝻 členov postupnosti $a_n$, ktorej $n$-tý člen je daný vzorcom $a_n=3+\frac{1}{n}$ nájdeme tak, že za $n$ do vzorca $a_n$ dosadíme $1, 2, ...$.
$$ a_1 = 3+\frac{1}{1}= 4$$
$$ a_2 = 3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$$
$$ a_3 = 3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$$
$$ a_4 = 3+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}$$
$$ a_5 = 3+\frac{1}{5}=\frac{16}{5}$$



Riešenie: Prepíšeme členy postupnosti nasledovne:

$$\frac{2^1}{3^0}, \frac{2^2}{3^1}, \frac{2^3}{3^2}, \frac{2^4}{3^3}, \frac{2^5}{3^4}, \dots$$

$n$- tý člen tejto postupnosti je $$\frac{2^{n}}{3^{n+1}}.$$

Determinanty - Príklad 5

Determinanty

Príklad 5

Riešte nasledujúcu nerovnicu:
$$
\left|
\begin{array}{lrr}
x^2& 4& 9\\
x& 2& 3\\
1 &1& 1\\
\end{array} \right|>0
$$

Riešenie:

V prvom rade je potrebné vypočítať determinant:

$$
\left|
\begin{array}{lrr}
x^2& 4& 9\\
x& 2& 3\\
1 &1& 1\\
\end{array} \right|=2x^2+9x+12-(18+3x^2+4x)=-x^2+5x-6>0
$$

Po výpočte determinantu sa úloha pretransformovala na úlohu:
Riešte kvadratickú nerovnicu:
$$
-x^2+5x-6>0
$$

Na riešenie tejto nerovnice je možné použiť viacero metód. Uvedieme dve základné:

• I. Metóda nulových bodov,
• II. grafické riešenie.

I. Metóda nulových bodov:
\begin{eqnarray*}
-x^2+5x-6&>&0\\
x^2-5x+6&<&0
\end{eqnarray*}
Nulovým bodom výrazu budeme nazývať také číslo, v ktorom výraz $x^2-5x+6=0$ nadobúda hodnotu nula.
Výraz  $x^2-5x+6=0$ je možné napísať v tvare súčinu, podľa nasledujúceho vzťahu:
$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$$ kde $x_1$ a $x_2$ sú korene kvadratickej rovnice  $ax^2+bx+c=0$.
Korene kvadratickej rovnice môžeme vypočítať napr. podľa vzťahu:
$$x_{1,2}=\frac{-b\stackrel{+}{-} \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
V našom prípade $x^2-5x+6=(x-3)(x-2)$.

Vidíme, že jeden zo súčiniteľov môže zmeniť znamienko iba v čísle $3$ a druhý súčiniteľ iba v čísle $2$. Tieto dve čísla rozdeľujú množinu reálnych čísel na tri podintervaly $(-\infty, 2), (2, 3\rangle, \langle 3, \infty)$, v ktorých vyšetríme znamienko súčinu.

V intervale $\left(-\infty; 2\right)$ je prvý aj druhý činiteľ záporný. Výsledný súčin je na tomto intervale kladný.
V intervale $\left(2; 3\right)$ je prvý činiteľ kladný a druhý záporný. Výsledný súčin nadobúda na tomto intervale zápornú hodnotu.
V intervale $\left(3;\infty\right)$ je prvý aj druhý činiteľ kladný. Výsledný súčin je na tomto intervale kladný.

Súčin bude záporný, ak $x$ bude patriť do intervalu: $\left(2;3\right)$.

Riešením tejto nerovnice je teda množina reálnych čísel $\left(2;3\right)$.

II. Grafické riešenie
Grafom funkcie $y=-x^2+5x-6$ je parabola. V prvom rade nás zaujímajú priesečníky s osou $x$. Všeobecne takýto priesečník má súradnice $P_x=[x;0]$. Priesečník zistíme tak, že do predpisu funkcie za $y$ dosadíme $0$ a $x$ ponecháme. Takouto úpravou získame kvadratickú rovnicu:
$$ -x^2+5x-6 = 0$$
V našom prípade má kvadratická rovnica dva reálne korene: $2$ a $3$.
Parabola, ktorá je grafom tejto funkcie pretína os $x$ práve v týchto dvoch číslach. Keďže koeficient pri $x^2$ je $-1$ t.j záporné číslo, bude mať parabola konkávny tvar.

Našou úlohou je riešiť kvadratickú nerovnicu: $- x^2+5x-6 > 0$. Hodnoty funkcie (tie odčítavame na osi $y$) majú byť menšie ako nula. To nastane, ako je vidieť z grafu, keď $ x\in(2;3) $.
Keďže  $y>0$, tak riešením je interval $\left(2;3\right)$.

Matice, základné operácie s maticami - Príklad 5

Matice, základné operácie s maticami

 

Príklad 5

Vypočítajte súčet matíc $A$ a $B$, ak $$\mathbf{A}=\left(
\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 3 \\
-1 & 1 & 4
\end{array}
\right), \mathbf{B}=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0 \\
1 & -2 & -3
\end{array}
\right)$$

Riešenie:

Najprv skontrolujeme, či sú matice rovnakého typu a následne matice sčítame:
$$\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{A}=\left(
\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 3 \\
-1 & 1 & 4
\end{array}
\right)+\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0 \\
1 & -2 & -3
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{rrr}
3 & 1 & 3 \\
0 & -1 & 1
\end{array}
\right)$$