Geometrický význam derivácie funkcie - Príklad 1

Geometrický význam derivácie funkcie

Príklad 1

Nájdite rovnicu dotyčnice v bode $T=[1;y_0]$ ku krivke $$f(x)=3x\cdot (2-x).$$

Riešenie

$$f:y=3x\cdot (2-x)$$
Dopočítame chýbajúcu súradnicu dotykového bodu:
$$f(x_0)=3\cdot 1 (2-1)=3\cdot 1 =3$$
$$T=[1;3]$$
Vypočítame smernicu dotyčnice:
$$k=f^{\prime}(x_0)$$
$$f(x)=3x\cdot (2-x)$$
Funkciu $f$ derivujeme podľa pravidiel derivovania. Konkrétne funkciu $f$ derivujeme ako súčin dvoch funkcii. 
$$f^{\prime}(x)=(3x)^{\prime}\cdot (2-x)+3x\cdot (2-x)^{\prime}= 3(2-x)+3x(-1)=6-3x-3x=6-6x$$
$$f^{\prime}(x)=6-6x$$  
$$k=f^{\prime}(x_0)=6-6\cdot 1$$
Dosadíme do vzťahu pre dotyčnicu: 
$$y-y_0=f^{\prime}(x_0)\cdot (x-x_0)$$
$$y-3=0\cdot(x-1)$$
$$y=3$$

Derivácia funkcie - Úlohy

Derivácia funkcie 

Úlohy

1. $\displaystyle f(x)=2x^6-5x^{-2}-\frac{34}{x^4}+\sin x$
2. $\displaystyle g(x)=2x^2-14x^{-3}-\frac{3}{\sin x}+\arcsin x$
3. $\displaystyle h(x)=\frac{\ln x}{x^4+2x^3}+ 9$
4. $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^7}-\frac{\sqrt[4]{x^5}\cdot x^{-2}}{x^4\cdot\sqrt[3]{x^2}}$
5. $\displaystyle g(x)=e^{x}\cdot \sin x-\frac{4}{x}+\arctan x$
6. $\displaystyle h(x)=\frac{\ln x+\cos x- 2x^3}{\sin x}$
7. $\displaystyle f(x)=x^2\cdot e^x \cdot \sin x$
8. $\displaystyle g(x)=\sqrt{x}\cdot \arcsin x-\tan x\cdot (4x-4)$
9. $\displaystyle h(x)=\frac{1-x^2}{x^2+1}$
10. $\displaystyle f(x)=e^x-3^x+\log_3 x$ 
11. $\displaystyle g(x)=\frac{3e^x\cdot \cos x}{1-x^4+x^3}$
12. $\displaystyle h(x)=(3+\sin x-3x^2)\cdot(3\ln x-\arctan x)$
13. $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^3}\cdot\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)$
14. $\displaystyle g(x)=\frac{1-x}{1+x}+\frac{1-x^3}{1+x^2}$
15. $\displaystyle h(x)=\sin x\cdot\tan x\cdot \cos x$
16. $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}-\frac{3}{\sqrt[4]{x^3}}+x^{-5}$ 
17. $\displaystyle g(x)=\frac{4x^4+\sin x}{\arccos x}$
18. $\displaystyle h(x)=2^x-5x^{-4}-\frac{\tan x}{x^4}+x^3\cos x$
19. $\displaystyle f(x)=(x^3\cdot e^x+x^3-5)\cdot(11\sin x+e^x\cdot\cos x)$ 
20. $\displaystyle g(x)=x\cdot\ln x-\sqrt[5]{x^{\frac{3}{2}}}$
21. $\displaystyle h(x)=\frac{1}{2}\arctan{\left(\frac{x}{4}\right)}$
22. $\displaystyle f(x)=\frac{\ln (x^2+1)}{x}+\sqrt{x^4+4x^3+2x^2-2}$
23. $\displaystyle g(x)=\arctan{(2x^4+3x^2+3)}$
24. $\displaystyle h(x)=\ln{\sqrt{x^2+2x+1}}$
25. $\displaystyle f(x)=\arccos{\frac{3x-1}{4}}$
26. $\displaystyle g(x)=\ln{(1+\sin^2 x)}$
27. $\displaystyle h(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin(2x)$
28. $\displaystyle f(x)=\ln{(1+\tan x)}$
29. $\displaystyle g(x)=-2\sqrt{1-e^x}$
30. $\displaystyle h(x)=-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x-1}$
31. $\displaystyle f(x)=-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}$
32. $\displaystyle g(x)=\ln\left(\frac{x+\sqrt{4+x^2}}{x^3+2x+1}\right)$
33. $\displaystyle h(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$
34. $\displaystyle f(x)=-2\arctan{\sqrt{\frac{3-x}{x-1}}}$
35. $\displaystyle g(x)=\ln({e^x+\sqrt{e^{2x}-1}})+\arctan{\sqrt{e^{2x}-1}}$
36. $\displaystyle h(x)=\sin\left(\frac{2x^3-5x^2+16x-9}{x\cdot e^{3x-2}}\right)$
37. $\displaystyle f(x)=\frac{x^2\cos(3x^2-6x)}{(3x-5)^4}$
38. $\displaystyle g(x)=\frac{25}{2}\arctan^4{(1+\sin x^2)}$
39. $\displaystyle h(x)=e^{\cos x}\cdot\sin^2(3x^5-6x^3)$
40. $\displaystyle g(x)=x\cdot \sqrt{1+x^2}-\frac{1}{(1+x^2)^3}$ 

Determinanty - Príklad 6

Determinanty

Príklad 6

Vypočítajte nasledujúci determinant:
$$\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1& 1&1\\ 1 & 2& 3&4\\ 1 &3& 6&10\\ 1& 4& 10&20\\ \end{array} \right|$$

Riešenie

$$\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1& 1&1\\ 1 & 2& 3&4\\ 1 &3& 6&10\\ 1& 4& 10&20\\ \end{array} \right|=$$
Mínus jeden násobok prvého riadku pripočítame postupne k riadku dva, tri a štyri. Dostávame determinant z matice $4\times 4$, ktorý má v prvom riadku, v prvom stĺpci číslo 1 a pod nim samé nuly.
$$\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1& 1&1\\ 0 & 1& 2&3\\ 0 &2& 5&9\\ 0& 3& 9&19\\ \end{array} \right|=$$
Ďalej by sme mohli pokračovať:

• rozvojom podľa prvého stĺpca,
• úpravou matice na hornú trojuholníkovú maticu.

Zvolíme si úpravu na hornú trojuholníkovú maticu.
Horná trojuholníková matica je taká matica, ktorá má rôzne čísla na hlavnej diagonále a nad ňou a pod hlavnou diagonálou iba nuly.
K tretiemu riadku matice pripočítame mínus dvojnásobok riadku dva a k štvrtému riadku pripočítame mínus trojnásobok riadku dva.
$$\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1& 1&1\\ 0 & 1& 2&3\\ 0 &0&1&3\\ 0& 0& 3&10\\ \end{array} \right|=$$
K štvrtému riadku matice pripočítame mínus trojnásobok riadku tri.
$$\left| \begin{array}{rrrr} 1 & 1& 1&1\\ 0 & 1& 2&3\\ 0 &0&1&3\\ 0& 0& 0&1\\ \end{array} \right|= 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=1$$

Maticová rovnica - Príklad 1

Maticová rovnica

Príklad 1

Nájdite všetky matice $X$ spĺňajúce danú maticovú rovnicu
$$X\cdot A=B\cdot C^T,$$
ak $A=\left( \begin{array}{rr} -2 & 1  \\ -7 &3 \end{array} \right)$, $B=\left( \begin{array}{rrr} -1 & 3&-4  \\ 1 &2 &0\end{array} \right)$, $C=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -2&-3  \\ 4 &3&-1 \end{array} \right)$

Riešenie

$$X\cdot A=B\cdot C^T$$

Najprv vypočítame pravú stranu danej maticovej rovnice.
Matica $B$ je typu $2\times 3$. Matica $C$ je typu $2\times 3$. Transponovaná matica k matici $C$ je typu $3\times 2$.
$$C^T= \left( \begin{array}{rrr} 0 & -2&-3  \\ 4 &3&-1 \end{array} \right)^T=\left( \begin{array}{rr} 0 & 4  \\ -2 &3\\ -3&-1 \end{array}\right)$$
Výsledkom násobenia matice typu $2\times 3$ s maticou typu $3\times 2$ je matica typu $2\times 2$.

$B\cdot C^T=\left( \begin{array}{rrr} -1 & 3&-4  \\ 1 &2 &0\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{rr} 0 & 4  \\ -2 &3\\ -3&-1 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)$

$$X\cdot A=B\cdot C^T$$
Z rovnice vyjadríme $X$. Pozor: Delenie matíc nie je definovaná operácia.
Využijeme násobenie inverznou maticou k matic $A$.
$$X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot C^T\cdot A^{-1}$$
$$X\cdot I=B\cdot C^T\cdot A^{-1}$$  
$$X=B\cdot C^T\cdot A^{-1}$$

Matica $A^{-1}$ je inverzná matica k matici $A$.

Inverznú maticu k matici $A$ vypočítame pomocou:

• pridruženej (adjungovanej) matice,
• blokovej matice.

Zvolíme si postup výpočtu inverznej matice pomocou pridruženej (adjungovanej) matice.
$$A^*=\left( \begin{array}{rr} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} &A_{22}\\  \end{array} \right)$$
s využitím vzťahu:
$$A^{-1}=\frac{1}{\det{(A)}}A^*$$
Vypočítame determinant matice $A$ a všetky algebrické doplnky:
$$\det{(A)}= \left| \begin{array}{rrr} -2 & 1 \\ -7 & 3\\ \end{array} \right|=1$$
$A_{ij}=(-1)^{i+j}\det{M_{ij}}$, kde $\det{M_{ij}}$ je determinant matice $M_{ij}$, ktorá vznikne z matica $A$ vynechaním $i$-teho riadku a $j$-teho stĺpca.
Algebrický doplnok $A_{11}$ vznikne z matice $A$ vynechaním prvého riadku a prvého stĺpca.
$$A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot 3 = 3$$
ďalšie algebrické doplnky:
$$A_{12}=(-1)^{1+3}\cdot (-7) = 7$$
$$A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot 1 = -1$$
$$A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot (-2) = -2$$
Dosadením do vzťahu:
$$A^{-1}=\frac{1}{\det{(A)}}A^*$$
dostávame inverznú maticu k matici $A$
$$A^{-1}=\left( \begin{array}{rr} 3 & -1 \\ 7 &-2 \end{array} \right)$$
Maticu $X$ vypočítame pomocou "obyčajného" násobenie matíc:
$$X=B\cdot C^T\cdot A^{-1}$$  
$$X=\left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{rr} 3 & -1  \\ 7 &-2 \end{array} \right)$$
$$X=\left( \begin{array}{rr}81 &-24  \\58 &-16\end{array} \right)$$ .

Iný spôsob výpočtu matice $X$ bez vyučitia inverznej matice:
$$X\cdot A=B\cdot C^T$$
kde
$$X\cdot \left( \begin{array}{rr} -2 & 1  \\ -7 &3\end{array} \right)=  \left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)$$
Matica $X$ je typu  $2\times 2$. Všeobecne ju môžeme zapísať
$$X=\left( \begin{array}{rr} x_1 & x_2  \\ x_3 &x_4\end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{rr} x_1 & x_2  \\ x_3 &x_4\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{rr} -2 & 1  \\ -7 &3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)$$
Vynásobíme matice na ľavej strane rovnice
$$\left( \begin{array}{rr}-2 x_1-7 x_2 & x_1+3 x_2  \\ -2x_3-7 x_4 & x_3+3x_4\end{array} \right)=  \left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)$$
Dve matice rovnakého typu sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú čísla na rovnakých pozíciách. T.j.
$$-2 x_1-7 x_2=6$$
$$x_1+3 x_2=9$$
$$-2x_3-7 x_4 =-4$$
$$x_3+3x_4=10$$
Výsledkom porovnania dvoch matíc sú dve sústavy lineárnych algebrických rovníc s dvoma neznámymi.
$$\begin{array}{rr} -2 x_1-7 x_2&=&6\\ x_1+3 x_2&=&9\\ \end{array}$$
Riešením tejto sústavy lineárnych algebrických rovníc s dvoma neznámymi je usporiadaná dvojica $[x_1;x_2]=[81;-24]$.
$$\begin{array}{rr} -2x_3-7 x_4 &=&-4\\ x_3+3x_4&=&10\\ \end{array}$$
Riešením tejto sústavy lineárnych algebrických rovníc s dvoma neznámymi je usporiadaná dvojica $[x_3;x_4]=[58;-16]$.

Matica $$X= \left( \begin{array}{rr} x_1 & x_2  \\ x_3 &x_4\end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr}81 &-24  \\58 &-16\end{array} \right)$$ .
je riešením maticovej rovnice $X\cdot A=B\cdot C^T$.

Limita funkcie - Príklad 1

Limita funkcie

Príklad 1

Vypočítajte limitu funkcie
$$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2-x-2}{x+1}$$

Riešenie

Výpočet limity funkcie pomocou úprav.
$$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2-x-2}{x+1}$$
Táto limita je typu $\frac{0}{0}$.  Napíšeme čitateľa v tvare súčin dvoch výrazov.
$$=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{(x-2)\cdot (x+1)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow -1}(x-2)=-1-2=-3$$

Výpočet limity funkcie pomocou L' Hospitalovho pravidla.
Keďže limita funkcie
$$\lim_{x\rightarrow -1}x^2-x-2= 0$$
a limita funkcie
$$\lim_{x\rightarrow -1}x+1=0$$
k výpočtu limity podielu týchto dvoch funkcií  je možné využiť L' Hospitalovo pravidlo:
$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)^{\prime}}{g(x)^{\prime}}$$
$$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2-x-2}{x+1}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2-x-2}{x+1}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{2x-1}{1}=\frac{2(-1)-1}{1}=-3$$

Determinanty - Príklad 4

Determinanty - Príklad 4

 

Príklad4

Vypočítajte determinant matice

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 5 & -10 & 2 & 1\\0 & 3 & 0 & 1 & -5\\0 & -5 & 7 & -5 & 1\\ -1 & -1 & 3 & -1 & 0\\0 & 4 & 0 & 5 & 0\end{array} \right)$$

Riešenie:

Determinant matice rozvinieme podľa 1. stĺpca. Dostaneme determinant matice rádu 4. Ten následne rozvinieme pomocou 2. stĺpca, čím dostaneme determinant matice rádu 3, potom vypočítame príslušné determinanty pomocou Sarussovho pravidla.

$$\det{A}=\left\vert\begin{array}{rrrrr}0 & 5 & -10 & 2 & 1\\0 & 3 & 0 & 1 & -5\\0 & -5 & 7 & -5 & 1\\ -1 & -1 & 3 & -1 & 0\\0 & 4 & 0 & 5 & 0\end{array} \right\vert =$$
$$= 0 + 0 + 0 + (-1)(-1)^{4+1} \left\vert\begin{array}{rrrr}5 & -10 & 2 & 1\\3 & 0 & 1 & -5\\-5 & 7 & -5 & 1\\ 4 & 0 & 5 & 0\end{array} \right\vert = \left\vert\begin{array}{rrrr}5 & -10 & 2 & 1\\3 & 0 & 1 & -5\\-5 & 7 & -5 & 1\\ 4 & 0 & 5 & 0\end{array} \right\vert =$$
$$=4\cdot(-1)^{4+1} \left\vert\begin{array}{rrr}-10& 2& 1\\0& 1& -5\\7& -5 & 1\end{array} \right\vert + 0 + 5\cdot(-1)^{4+3} \left\vert\begin{array}{rrr}5 & -10& 1\\3 & 0& -5\\-5& 7& 1\end{array} \right\vert + 0 =$$
$$=-4\cdot(-10+0-70-7+250-0)-5\cdot(0+21-250-0+175+30)=$$
$$= -4\cdot163-5\cdot(-24)= -532$$ V nasledujúcich riadkoch je zachytená vizualizácia riešenia. Táto vizualizácia je ovládaná iba šípkami vľavo a vpravo: V·ö prehliadaË nepodporuje Canvas...

Derivácia funkcie - Príklad 7

Derivácia funkcie - Príklad 7

 

Príklad4

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte
$$y=\frac{\displaystyle 4x^3+3}{\displaystyle x^2-3x}$$

Riešenie:

$y'=\left(\frac{\displaystyle 4x^3+3}{\displaystyle x^2-3x}\right)'=\frac{\displaystyle(4x^3+3)'(x^2-3x)-(4x^3+3)(x^2-3x)'}{\displaystyle(x^2-3x)^2}=$
$=\frac{\displaystyle 12x^2(x^2-3x)-(4x^3+3)(2x-3)}{\displaystyle(x^2-3x)^2}=\frac{\displaystyle 12x^4-36x^3-8x^4-6x+12x^3+9}{\displaystyle (x^2-3x)^2}=$
$=\frac{\displaystyle 4x^4-24x^3-6x+9}{\displaystyle x^2(x-3)^2}$

Limita postupnosti - Príklad 1

Limita postupnosti 

Príklad 1

Vypočítajte limitu postupnosti

$$\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}}$$

Riešenie:

$$\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}} =$$

Využijeme definíciu faktoriálu:
$$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$
$$\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{(n+2)(n+1)!+(n+1)!}{(n+2)(n+1)!-(n+1)!}} = \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{(n+1)![(n+2)+1]}{(n+1)![(n+2)-1]}} = \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{(n+2)+1}{(n+2)-1}} =$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{n+2+1}{n+2-1}} = \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{n+3}{n+1}} = \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{(n+3)\frac{1}{n}}{(n+1)\frac{1}{n}}} = \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}}=1$$

Zložená funkcia - Príklad 1

Zložená funkcia

Pod zloženou funkciou $(f\circ g)$ z funkcií $f$, $g$ (inými slovami kompozíciou $(f\circ g)$ funkcií $f$, $g$) rozumieme funkciu definovanú nasledovne: $(f\circ g)(x) = f(g(x))$. Funkciu $f$ nazývame vonkajšou zložkou a funkciu $g$ vnútornou zložkou kompozície $(f\circ g)(x)$.

Príklad 1

Zostrojte zložené funkcie
$(f\circ g)$, $(g\circ f)$, $(f\circ f)$, $(g\circ g)$, ak $f(x)= x^3$ a $g(x)=\cos x$. Výsledný vzťah zjednodušte, ak je to možné.

Riešenie:

Definičným oborom danej funkcie $f(x)= x^3$ je $D(f)= \mathbb{R}$ a definičný obor funkcie $g(x)=\cos x$ je tiež $D(g)= \mathbb{R}$.

Hľadané funkcie sú:
$$(f\circ g)(x)=f(g(x))= {(\cos x)}^3= \cos^3x$$
$$(g\circ f)(x)=g(f(x))= \cos ({x}^3)=\cos x^3$$
$$(f\circ f)(x)=f(f(x))={({x}^3)}^3= x^9$$
$$(g\circ g)(x)=g(g(x))= \cos (\cos x)$$
Pričom definičným oborom každej funkcie, ktorá vzniká z tohto zloženia, je množina všetkých reálnych čísel ($\mathbb{R}$).

Derivácia funkcie - Príklad 1

Derivácia funkcie

Príklad 1

Z definície derivácie vypočítajte deriváciu funkcie $f^{\prime}(16)$, ak $f(x)=\sqrt{x}$.

Riešenie:

Defininícia deriácie:
$$f^{\prime}(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

Najprv zistíme čomu sa rovná funkčná hodnota v čísle 16.
$$f(x)=\sqrt{x}$$
$$f(16)=\sqrt{16}=4$$
Z definície derivácie
$$f^{\prime}(16)=\lim_{x\rightarrow 16}\frac{\sqrt{x}-4}{x-16}$$
Táto limita je typu $\frac{0}{0}$.
Rozšírime výraz vhodnou jednotkou a použijeme vzťah: $a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)$
$$f^{\prime}(16)=\lim_{x\rightarrow16 }\frac{\sqrt{x}-4}{x-16} \cdot \frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+4}=$$
$$\lim_{x\rightarrow 16}\frac{x-16}{(x-16)\cdot(\sqrt{x}+4)}=$$
Vykrátime zlomok výrazom   $x-16$:
$$\lim_{x\rightarrow 16}\frac{1}{\sqrt{x}+4} =\frac{1}{8}$$
$$f^{\prime}(16)=\frac{1}{8}$$

Sústava lineárnych algebrických rovníc - Príklad 2

Sústava lineárnych algebrických rovníc

Cramerovo pravidlo
Túto metódu je možné použiť pri riešení ľubovoľného systému rovníc. Hlavná myšlienka tejto metódy spočíva v riešení determinantov.
Už pri riešení sústavy štyroch rovníc o štyroch neznámych je potrebné vypočítať celkovo päť determinantov rádu $\displaystyle 4\times 4$. Neznamená to však, že túto metódu nesmieme použiť pri riešení sústavy viacerých lineárnych rovníc o viacerých neznámych, ale často je tento proces riešenia zložitejší ako riešenie sústavy lineárnych rovníc Gaussovov eliminačnou metódou.

Príklad 2

Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc:
$$\begin{array}{rrr} 2x+y&= &5\\ x+3z&= &16\\ 5y-z&= &10\\ \end{array}$$

Riešenie:

Najprv prepíšeme sústavu lineárnych algebrických rovníc do maticového tvaru:
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 2& 1&0&5\\ 1 & 0&3&16\\ 0 & 5&-1&10\\ \end{array} \right)$$
Ak existuje riešenie tejto sústavy lineárnych rovníc, tak toto riešenie bude v tvare usporiadanej trojice $\left[x;y; z \right]$.

Cramerovo pravidlo môžeme použiť iba vtedy, ak determinant, ktorý vznikne z matice bez jej pravej strany je rôzny od nuly.
$$D= \left| \begin{array}{rrr} 2& 1&0\\ 1 & 0&3\\ 0 & 5&-1\\ \end{array}\right| =-29$$
Determinant z matice je rôzny od nuly. Môžeme ďalej pokračovať v riešení použitím Cramerovho pravidla.

Hodnoty premenných  $x$, $y$ a $z$ vypočítame využitím vzťahov:
$$x=\frac{D_{x}}{D},$$
$$y=\frac{D_{y}}{D},$$
$$z=\frac{D_{z}}{D},$$
kde determinant $D_{x}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto prvého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x$) použijeme stĺpec pravých strán, determinant $D_{y}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $y$) použijeme stĺpec pravých strán a determinant $D_{z}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $z$) použijeme stĺpec pravých strán.
$$D_x= \left| \begin{array}{rrr} 5& 1&0\\ 16 & 0&3\\ 10 & 5&-1\\ \end{array}\right| =-29$$
$$D_y= \left| \begin{array}{rrr} 2& 5&0\\ 1 & 16&3\\ 0 & 10&-1\\ \end{array}\right| =-87$$
$$D_z= \left| \begin{array}{rrr} 2& 1&5\\ 1 & 0&16\\ 0 & 5&10\\ \end{array}\right| =-145$$
Samotné riešenie sústavy:
$$x=\frac{D_{x}}{D}= \frac{-29}{-29}=1$$
$$y=\frac{D_{y}}{D}= \frac{-87}{-29}=3$$
$$z=\frac{D_{z}}{D}= \frac{-145}{-29}=5$$
Sústava lineárnych algebrických rovníc má jediné riešenie v tvare usporiadanej trojice: $\left[1;3;5 \right]$.

Sústava lineárnych algebrických rovníc - Príklad 5

Sústava lineárnych algebrických rovníc

Príklad 5

Riešte sústavu lineárnych rovníc
$$\begin{eqnarray*}  px_1+x_2-x_3&=&1\\ x_1+px_2-x_3&=&1\\ -x_1+x_2+px_3&=&1\\ \end{eqnarray*}$$

Riešenie

Sústavu lineárnych algebrických rovníc budeme riešiť pomocou Cramerovho pravidla.
Najprv prepíšeme sústavu rovníc do maticového tvaru:
$$\left( \begin{array}{rrr|r} p& 1& -1&1\\ 1& p& -1&1\\ -1 &1& p&1\\ \end{array} \right)$$

Následne vypočítame determinant z matice bez pravej strany. Ak je tento determinant rôzny od nuly, tak môžeme ďalej pokračovať vo výpočte pomocou Cramerovho pravidla.
$$D= \left| \begin{array}{rrr} p& 1& -1\\ 1& p& -1\\ -1 &1& p\\ \end{array} \right|=p^3-1+1-p+p-p=p^3-p=p(p^2-1)$$
$$D\neq 0$$
$$p(p^2-1) \neq 0$$
Výraz  $p^2-1$ napíšeme v tvare súčinu podľa vzťahu: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$$p(p-1)(p+1) \neq 0$$
Súčin je rôzny od nuly vtedy a len vtedy, ak je každý z činiteľov rôzny od nuly.
$$p \neq 0 \wedge p+1 \neq 0 \wedge p-1 \neq 0$$
Pre $p\in \mathrm{R}-\{-1,0,1\}$ riešime sústavu lineárnych algebrických rovníc pomocou Cramerovho pravidla.
$$D_{x_1}= \left| \begin{array}{rrr} 1& 1& -1\\ 1& p& -1\\ 1 &1& p\\ \end{array} \right|=p^2-1-1+p+1-p=p^2-1$$
$$x_1=\frac{D_{x_1}}{D}$$
$$x_1=\frac{p^2-1}{p(p^2-1)}=\frac{1}{p}$$
$$D_{x_2}= \left| \begin{array}{rrr} p& 1& -1\\ 1& 1& -1\\ -1 &1& p\\ \end{array} \right|=p^2-1+1-1+p-p=p^2-1$$
$$x_2=\frac{D_{x_2}}{D}$$
$$x_2=\frac{p^2-1}{p(p^2-1)}=\frac{1}{p}$$
$$D_{x_3}= \left| \begin{array}{rrr} p& 1& 1\\ 1& p& 1\\ -1 &1& 1\\ \end{array} \right|= p^2+1-1+p-p-1=p^2-1$$
$$x_3=\frac{D_{x_3}}{D}$$
$$x_3=\frac{p^2-1}{p(p^2-1)}=\frac{1}{p}$$
Ak $p\neq 0$ a zároveň je $p\neq \pm 1$, tak riešením sústavy je usporiadaná trojica: $\left[\frac{1}{p};\frac{1}{p};\frac{1}{p}\right]$.

Ak $p=0$, tak Cramerovo pravidlo použiť nemôžeme. Sústavu lineárnych rovníc riešime pomocou Gaussovej eliminačnej metódy.
$$\begin{eqnarray*}  0x_1+x_2-x_3&=&1\\ x_1+0x_2-x_3&=&1\\ -x_1+x_2+0x_3&=&1\\ \end{eqnarray*}$$
Označme:
$$A=\left( \begin{array}{rrr} 0& 1& -1\\ 1& 0& -1\\ -1 &1& 0\\ \end{array} \right), \, A^*=\left( \begin{array}{rrr|r} 0& 1& -1&1\\ 1& 0& -1&1\\ -1 &1& 0&1\\ \end{array} \right)$$
O počte riešení rozhodneme na základe Frobeniovej vety. Preto je nutné zistiť hodnosť matice $A$ a matice $A^*$. Maticu $A^*$ upravujeme na trojuholníkový resp. lichobežníkový tvar pomocou ekvivalentných úprav.
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 0& 1& -1&1\\ 1& 0& -1&1\\ -1 &1& 0&1\\ \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1& 0& -1&1\\ 0& 1& -1&1\\ -1&1& 0&1\\ \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1& 0& -1&1\\ 0& 1& -1&1\\ 0& 1& -1&2\\ \end{array} \right)\sim$$
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1& 0& -1&1\\ 0& 1& -1&1\\ 0& 0& 0&1\\ \end{array} \right)$$
Hodnosť matice $A$ je 2, ale hodnosť matice rozšírenej o stĺpec pravých strán $A^*$ je 3. Podľa Frobeniovej vety sústava lineárnych algebrických rovníc nemá riešenie.

Ak $p=1$, tak Cramerovo pravidlo použiť nemôžeme. Sústavu lineárnych rovníc riešime pomocou Gaussovej eliminačnej metódy.
$$\begin{eqnarray*}  1x_1+x_2-x_3&=&1\\ x_1+1x_2-x_3&=&1\\ -x_1+x_2+1x_3&=&1\\ \end{eqnarray*}$$
Označme:
$$B=\left( \begin{array}{rrr} 1& 1& -1\\ 1& 1& -1\\ -1 &1& 1\\ \end{array} \right), \, B^*=\left( \begin{array}{rrr|r} 1& 1& -1&1\\ 1& 1& -1&1\\ -1 &1& 1&1\\ \end{array} \right)$$ $$\left( \begin{array}{rrr|r} 1& 1& -1&1\\ 1& 1& -1&1\\ -1 &1& 1&1\\ \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1& 0& -1&1\\ 0& 0& 0&0\\ 0& 2& 0&2\\ \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1& 0& -1&1\\ 0& 2& 0&2\\ 0& 0& 0&0\\ \end{array} \right)$$
Hodnosť matice $B$ je 2, ale hodnosť matice rozšírenej o stĺpec pravých strán $B^*$ je 2.Podľa Frobeniovej vety sústava lineárnych algebrických rovníc má nekonečne veľa riešení v tvare usporiadanej trojice: $[1-t;1; t]$, kde $t\in \mathrm{R}$.
Toto riešenie vypočítame, ak maticu $\left( \begin{array}{rrr|r} 1& 0& -1&1\\ 0& 2& 0&2\\ 0& 0& 0&0\\ \end{array} \right)$ prepíšeme znova do tvaru systému rovníc: $\begin{eqnarray*}  1x_1+0x_2-x_3&=&1\\ 0x_1+2x_2+0x_3&=&2\\ 0x_1+0x_2+0x_3&=&0\\ \end{eqnarray*}$
Jedna premenná je voľná. Nech je to $x_3$. Zvoľme za túto premennú parameter $t$ t.j. $x_3=t$. Z druhej rovnice vyjadríme $x_2$ t.j. $x_2=1$ a následne z prvej rovnice $x_1$ t.j. $x_1=1-t$, kde $t\in \mathrm{R}$.

Ak $p=-1$, tak Cramerovo pravidlo použiť nemôžeme. Sústavu lineárnych rovníc riešime pomocou Gaussovej eliminačnej metódy.
$$\begin{eqnarray*}  -1x_1+x_2-x_3&=&1\\ x_-1x_2-x_3&=&1\\ -x_1+x_2-1x_3&=&1\\ \end{eqnarray*}$$
Označme:
$$C=\left( \begin{array}{rrr} 0& 1& -1\\ 1& 0& -1\\ -1 &1& 0\\ \end{array} \right), \, C^*=\left( \begin{array}{rrr|r} 0& 1& -1&1\\ 1& 0& -1&1\\ -1 &1& 0&1\\ \end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{rrr|r} -1& 1& -1&1\\ 1& -1& -1&1\\ -1 &1& -1&1\\ \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1& 1& -1&1\\ 0& 0& -2&2\\ 0&0& 0&2\\ \end{array} \right)$$
Hodnosť matice $C$ je 2, ale hodnosť matice rozšírenej o stĺpec pravých strán $C^*$ je 3. Podľa Frobeniovej vety sústava lineárnych algebrických rovníc nemá riešenie.

Priebeh funkcie - Príklad 1

 Priebeh funkcie 

Príklad 1

Vyšetrite priebeh funkcie $f$ a nakreslite jej graf.

$$f: y=16x(x-1)^3$$

Riešenie:

I. Z predpisu funkcie určujeme:

• 1. definičný obor funkcie,
• 2. párnosť, nepárnosť funkcie,
• 3. priesečníky so súradnicovými osami,
• 4. asymptoty so smernicou, asymtoty bez smernice

1. definičný obor funkcie

$$D(f)=\mathrm{R}$$

2. párnosť, nepárnosť funkcie

Funkcia je párna vtedy a len vtedy, ak spĺňa dve nasledujúce podmienky:

• Ak $x\in D(f)$, tak $-x\in D(f)$, t.j. definičný obor je symetrický.
• $f(-x)=f(x)$, t.j. graf funkcie je symetrický podľa osi $o_y$.

Funkcia je nepárna vtedy a len vtedy, ak spĺňa:

• Ak $x\in D(f)$, tak $-x\in D(f)$, t.j. definičný obor je symetrický.
• $f(-x)=-f(x)$, t.j. graf funkcie je symetrický podľa bodu $[0,0]$.

Keďže definičný obor je symetrický, prvá podmienka je splnená. Ostáva overiť druhú podmienku a teda čomu sa rovná funkčná hodnota funkcie $f$ v bode $-x$;
$$f(-x)=16(-x)(-x-1)^3=16x(x+1)$$
Funkcia nie je ani párna ani nepárna.

3. priesečníky s osou $x$ a osou $y$

Priesečník s osou $x$ (osou $y$) je bod, v ktorom funkcia $f$ pretne x-ovú (y-ovú) súradnicovú os. Tento bod má súradnice $[x,0]$ (resp. $[0,y]$).

Najprv určíme priesečník s osou $x$, teda $[x,0]$. Hľadaný bod $x$ spĺňa rovnosť:
$$0=16x(x-1)^3$$
Tento výraz sa rovná nule vtedy, ak 
$$\begin{array}{rclcrcl} 16x&=& 0 &\text{alebo}& (x-1)^3&=&0 \\ x&=& 0& &x&=& 1\\ && & &x&=& 0\\ \end{array}$$

Priesečníky so súradnicovou osou $x$ sú body so súradnicami $[0,0]$ a $[1,0]$.

Priesečník  so súradnicovou osou $y$ má súradnice $[0,f(0)]$, kde funkčnú hodnotu v čísle $0$ získame dosadením $x=0$ do predpisu funkcie $f$.
$$f(0)= 16\cdot 0\cdot (0-1)^3$$
Vidíme, že priesečník s osou $y$ je zároveň aj priesečníkom s osou $x$ (graf funkcie $f$ pretne súradnicové osi v bode $[0,0]$). Iné priesečníky graf funkcie $f$ so súradnicovými osami nemá.

4. Asymptoty so smernicou, asymptoty bez smernice

Funkcia $f$ nemá asymptoty bez smernice, keďže nemá žiadne body nespojitosti.

Asymptoty so smernicou sú vo všeobecnosti dve priamky, ku ktorým sa graf funkcie limitne približuje v "krajných bodoch", t.j. plus a mínus nekonečne.
Všeobecné rovnice týchto priamok sú: $y=k_1\cdot x + q_1$ a $y=k_2\cdot x + q_2$, kde $k_1, k_2$ (označované tiež ako smernice priamok) a $q_1, q_2$ sú parametre, ktoré sa v závislosti od typu funkcie menia. Tieto parametre je možné vypočítať podľa nasledujúcich vzťahov:
$$\begin{array}{ccl} k_1&=& \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}\\ q_1 &=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (f(x)-k_1\cdot x)\\ \end{array}$$

$$\begin{array}{ccl} k_2&= &\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}\\ q_2 &=&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (f(x)-k_2\cdot x)\\ \end{array}$$
V našom prípade asymtoty so smernicou neexistujú, lebo
$$k_1= \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{16x(x-1)^3}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}16(x-1)^3=\infty$$

II. Z prvej derivácia funkcie určujeme

• 5. stacionárne body,
• 6. monotónnosť funkcie, t.j. intervaly na ktorých funkcia rastie resp. klesá,
• 7. extrémy funkcie.

$$f(x)=16x(x-1)^3$$
Túto funkciu derivujeme ako súčin dvoch funkcií
$$\begin{array}{ccl} f^{\prime}(x)&=&(16x)^{\prime}\cdot (x-1)^3+(16x)\cdot ((x-1)^3)^{\prime}\\ f^{\prime}(x)&=&(16)\cdot (x-1)^3+16x\cdot 3(x-1)^2=16(x-1)^2(4x-1)\\ \end{array}$$

5. stacionárne body

Stacionárne body funkcie sú všetky čísla z oboru definície funkcie $f(x)$, v ktorých je $f^{\prime}(x)= 0$.
Sú to také body z definičného oboru funkcie, v ktorých sa mení monotónnosť funkcie t.j. rastúca funkcia sa zmení na klesajúcu a naopak.
$$\begin{array}{rclcrcl} 16(x-1)^2&=&0&\text{alebo}&4x-1&=&0\\ (x-1)^2&=&0&&x&=&\frac{1}{4}\\ x&=&1&&&&\\ \end{array}$$

Funkcia má dva stacionárne body.
Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie $f$, je nutné dopočítať aj $y$-ové súradnice týchto stacionárnych bodov, teda
$$\begin{array}{ccl} f(1)&=&16(1-1)^3=0\\ f\left(\frac{1}{4}\right)&=&16\cdot \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-1\right)^3\\ \end{array}$$

6. Intervaly na ktorých funkcie rastie (klesá)

Funkcia je rastúca práve vtedy a len vtedy, ak $f^{\prime}(x)> 0$.
$$f^{\prime}(x)=16(x-1)^2(4x-1)>0$$
Čísla $1$ a $\frac{1}{4}$ rozdeľujú definičný obor funkcie $f(x)$ na nasledujúce tri intervaly: $\left(-\infty,  \frac{1}{4}\right)$, $\left(\frac{1}{4}, 1\right)$, $\left(1, \infty\right)$, v ktorých vyšetríme znamienko prvej derivácie.
Funkcia $16(x-1)^2$ je kladná pre ľubovoľné $x \in D(f)$. Súčin je kladný, ak platiť:
$$\begin{array}{rcl} 4x-1&>&0\\ x&>&\frac{1}{4}\\ \end{array}$$
Keďže prvá derivácia je kladná v intervaloch $\left(\frac{1}{4}, 1\right)$ a $\left(1, \infty\right)$, tak funkcia $f$ v týchto intervaloch rastie. 

Ďalej je potrebné určiť intervaly, v ktorých funkcia $f$ klesá. Funkcia je klesajúca práve vtedy a len vtedy, ak $f^{\prime}(x)<0)$.
$$f^{\prime}(x)=16(x-1)^2(4x-1)<0$$
Keďže výraz $16(x-1)^2$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Prvá derivácia bude záporná vtedy, keď $4x-1<0$.

Keďže prvá derivácia je záporná v intervale $\left(-\infty, \frac{1}{4}\right)$, tak funkcia $f$ v tomto intervale klesá.

7. Lokálne extrémy funkcie

Funkcia nadobúda lokálne extrémy v čísle $\frac{1}{4}$

III. Z druhej derivácie funkcie určujeme:

• 8. intervaly, v ktorých je funkcia konkávna, konvexná,
• 9. inflexné body funkcie

$$\begin{array}{ccl} f^{\prime\prime}(x)&= &(f^{\prime}(x))^{\prime}\\ f^{\prime\prime}(x)&= &\left(16(x-1)^2(4x-1)\right)^{\prime}\\ f^{\prime\prime}(x)&=&32(x-1)(4x-1)+64(x-1)^2=64(x-1)(3x-2)\\ \end{array}$$

8. Inflexné body funkcie
Inflexný bod je taký bod z definičného oboru funkcie, v ktorom funkcia mení svoj priebeh z konkávnej na konvexnú a naopak. Tento bod vypočítame z druhej derivácie funkcie tak, že
$$\begin{array}{lcl} f^{\prime\prime}(x)&=& 0\\ 64(x-1)(3x-2)&=&0\\ \end{array}$$

$$\begin{array}{rclcrcl} 64(x-1)&=&0&\text{alebo}&3x-2&=&0\\ x-1&=&0&&3x&=&2\\ x&=&1&&x&=&\frac{2}{3}\\ \end{array}$$

Týmto postupom sme vypočítali $x$-ovú súradnicu inflexné hodu. Aby sme dokázali nakresliť graf funkcie $f$, je nutné dopočítať aj $y$-ovú súradnicu tohto bodu a to tak, že do predpisu funkcie $f$  za $x$ dosadíme číslo $1$ a číslo $\frac{2}{3}$.

9. Intervaly, v ktorých je funkcia konkávna, konvexná

Funkcia je konvexná vtedy a len vtedy, ak $f^{\prime\prime}(x)>0$ t.j.
$$64(x-1)(3x-2)>0$$
Chceme určiť intervaly, v ktorých je výraz $64(x-1)(3x-2)$ kladný.
Súčin je kladný, ak prvý činiteľ je kladný (t.j. ak $x\in (1;\infty)$ a zároveň druhý činiteľ je kladný (t.j. ak  $x\in\left(\frac{2}{3};\infty\right)$), alebo ak prvý činiteľ je záporný (t.j. ak $x\in (-\infty,1)$) a zároveň druhý činiteľ je záporný (t.j. ak $x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)$).

Funkcia je konvexná, ak
$$x\in (-\infty;\frac{2}{3}) \cup (1;\infty).$$

Funkcia je konkávna vtedy a len vtedy, ak $f^{\prime\prime}(x)<0$ t.j.
$$64(x-1)(3x-2)<0$$
Súčin je záporný, ak prvý činiteľ je kladný (t.j. ak $x\in (1;\infty)$ a zároveň druhý činiteľ je záporný (t.j. ak  $x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)$), alebo ak prvý činiteľ je záporný (t.j. ak $x\in (-\infty,1)$) a zároveň druhý činiteľ je kladný (t.j. ak  $x\in\left(\frac{2}{3};\infty\right)$)

Funkcia je konkávna, ak
$$x\in \left(\frac{2}{3};1\right)$$



10. Graf funkcie