Priebeh funkcie
Príklad 1
Vyšetrite priebeh funkcie $f$ a nakreslite jej graf.
$$
f: y=16x(x-1)^3
$$
Riešenie:
I. Z predpisu funkcie určujeme:
- 1. definičný obor funkcie,
- 2. párnosť, nepárnosť funkcie,
- 3. priesečníky so súradnicovými osami,
- 4. asymptoty so smernicou, asymtoty bez smernice
1. definičný obor funkcie
$$
D(f)=\mathrm{R}
$$
2. párnosť, nepárnosť funkcie
Funkcia je párna vtedy a len vtedy, ak spĺňa dve nasledujúce podmienky:
- Ak $x\in D(f)$, tak $-x\in D(f)$, t.j. definičný obor je symetrický.
- $f(-x)=f(x) $, t.j. graf funkcie je symetrický podľa osi $o_y$.
Funkcia je nepárna vtedy a len vtedy, ak spĺňa:
- Ak $x\in D(f)$, tak $-x\in D(f)$, t.j. definičný obor je symetrický.
- $f(-x)=-f(x) $, t.j. graf funkcie je symetrický podľa bodu $[0,0]$.
Keďže definičný obor je symetrický, prvá podmienka je splnená. Ostáva overiť druhú podmienku a teda čomu sa rovná funkčná hodnota funkcie $f$ v bode $-x$;
$$
f(-x)=16(-x)(-x-1)^3=16x(x+1)
$$
Funkcia nie je ani párna ani nepárna.
3. priesečníky s osou $x$ a osou $y$
Priesečník
s osou $x$ (osou $y$) je bod, v ktorom funkcia $f$ pretne x-ovú (y-ovú)
súradnicovú os. Tento bod má súradnice $[x,0]$ (resp. $[0,y]$).
Najprv určíme priesečník s osou $x$, teda $[x,0]$. Hľadaný bod $x$ spĺňa rovnosť:
$$
0=16x(x-1)^3
$$
Tento výraz sa rovná nule vtedy, ak
\begin{array}{rclcrcl}
16x&=& 0 &\text{alebo}& (x-1)^3&=&0 \\
x&=& 0& &x&=& 1\\
&& & &x&=& 0\\
\end{array}
Priesečníky so súradnicovou osou $x$ sú body so súradnicami $[0,0]$ a $[1,0]$.
Priesečník so súradnicovou osou $y$ má
súradnice $[0,f(0)]$, kde funkčnú hodnotu v čísle $0$ získame dosadením
$x=0$ do predpisu funkcie $f$.
$$
f(0)= 16\cdot 0\cdot (0-1)^3
$$
Vidíme,
že priesečník s osou $y$ je zároveň aj priesečníkom s osou $x$ (graf
funkcie $f$ pretne súradnicové osi v bode $[0,0]$). Iné
priesečníky graf funkcie $f$ so súradnicovými osami nemá.
4. Asymptoty so smernicou, asymptoty bez smernice
Funkcia $f$ nemá asymptoty bez smernice, keďže nemá žiadne body nespojitosti.
Asymptoty
so smernicou sú vo všeobecnosti dve priamky, ku ktorým sa graf funkcie
limitne približuje v "krajných bodoch", t.j. plus a mínus nekonečne.
Všeobecné
rovnice týchto priamok sú: $y=k_1\cdot x + q_1$ a $y=k_2\cdot x +
q_2$, kde $k_1, k_2$ (označované tiež ako smernice priamok) a $q_1, q_2$
sú parametre, ktoré sa v závislosti od typu funkcie menia. Tieto
parametre je možné vypočítať podľa nasledujúcich vzťahov:
$$\begin{array}{ccl}
k_1&=& \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}\\
q_1 &=&\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (f(x)-k_1\cdot x)\\
\end{array}$$
$$\begin{array}{ccl}
k_2&= &\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}\\
q_2 &=&\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (f(x)-k_2\cdot x)\\
\end{array}$$
V našom prípade asymtoty so smernicou neexistujú, lebo
$$
k_1= \lim\limits_{x\rightarrow
\infty}\frac{16x(x-1)^3}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow
\infty}16(x-1)^3=\infty
$$
II. Z prvej derivácia funkcie určujeme
- 5. stacionárne body,
- 6. monotónnosť funkcie, t.j. intervaly na ktorých funkcia rastie resp. klesá,
- 7. extrémy funkcie.
$$f(x)=16x(x-1)^3$$
Túto funkciu derivujeme ako súčin dvoch funkcií
$$\begin{array}{ccl}
f^{\prime}(x)&=&(16x)^{\prime}\cdot (x-1)^3+(16x)\cdot ((x-1)^3)^{\prime}\\
f^{\prime}(x)&=&(16)\cdot (x-1)^3+16x\cdot 3(x-1)^2=16(x-1)^2(4x-1)\\
\end{array}$$
5. stacionárne body
Stacionárne body funkcie sú všetky čísla z oboru definície funkcie $f(x)$, v ktorých je $f^{\prime}(x)= 0$.
Sú to také body z definičného oboru funkcie, v ktorých sa mení monotónnosť funkcie t.j. rastúca funkcia sa zmení na klesajúcu a naopak.
$$
\begin{array}{rclcrcl}
16(x-1)^2&=&0&\text{alebo}&4x-1&=&0\\
(x-1)^2&=&0&&x&=&\frac{1}{4}\\
x&=&1&&&&\\
\end{array}$$
Funkcia má dva stacionárne body.
Aby
sme dokázali nakresliť graf funkcie $f$, je nutné dopočítať aj $y$-ové
súradnice týchto stacionárnych bodov, teda
$$\begin{array}{ccl}
f(1)&=&16(1-1)^3=0\\
f\left(\frac{1}{4}\right)&=&16\cdot \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-1\right)^3\\
\end{array}$$
6. Intervaly na ktorých funkcie rastie (klesá)
Funkcia je rastúca práve vtedy a len vtedy, ak $ f^{\prime}(x)> 0$.
$$
f^{\prime}(x)=16(x-1)^2(4x-1)>0
$$
Čísla
$1$ a $\frac{1}{4}$ rozdeľujú definičný obor funkcie $f(x)$ na
nasledujúce tri intervaly: $ \left(-\infty, \frac{1}{4}\right)$, $ \left(\frac{1}{4}, 1\right)$, $ \left(1, \infty\right)$, v ktorých vyšetríme znamienko prvej derivácie.
Funkcia $ 16(x-1)^2$ je kladná pre ľubovoľné $x \in D(f)$. Súčin je kladný, ak platiť:
$$\begin{array}{rcl}
4x-1&>&0\\
x&>&\frac{1}{4}\\
\end{array}$$
Keďže prvá derivácia je kladná v intervaloch $ \left(\frac{1}{4}, 1\right)$ a $ \left(1, \infty\right)$, tak funkcia $f$ v týchto intervaloch rastie.
Ďalej je potrebné určiť intervaly, v ktorých funkcia $f$ klesá. Funkcia je klesajúca práve vtedy a len vtedy, ak $f^{\prime}(x)<0)$.
$$
f^{\prime}(x)=16(x-1)^2(4x-1)<0
$$
Keďže výraz $16(x-1)^2$ je kladný pre ľubovoľné číslo z definičného oboru funkcie $f$.
Prvá derivácia bude záporná vtedy, keď $4x-1<0$.
Keďže prvá derivácia je záporná v intervale $\left(-\infty, \frac{1}{4}\right)$, tak funkcia $f$ v tomto intervale klesá.
7. Lokálne extrémy funkcie
Funkcia nadobúda lokálne extrémy v čísle $\frac{1}{4}$
III. Z druhej derivácie funkcie určujeme:
- 8. intervaly, v ktorých je funkcia konkávna, konvexná,
- 9. inflexné body funkcie
$$\begin{array}{ccl}
f^{\prime\prime}(x)&= &(f^{\prime}(x))^{\prime}\\
f^{\prime\prime}(x)&= &\left(16(x-1)^2(4x-1)\right)^{\prime}\\
f^{\prime\prime}(x)&=&32(x-1)(4x-1)+64(x-1)^2=64(x-1)(3x-2)\\
\end{array}$$
8. Inflexné body funkcie
Inflexný
bod je taký bod z definičného oboru funkcie, v ktorom funkcia mení svoj priebeh z konkávnej na konvexnú a
naopak. Tento bod vypočítame z druhej derivácie funkcie tak, že
$$\begin{array}{lcl}
f^{\prime\prime}(x)&=& 0\\
64(x-1)(3x-2)&=&0\\
\end{array}$$
$$
\begin{array}{rclcrcl}
64(x-1)&=&0&\text{alebo}&3x-2&=&0\\
x-1&=&0&&3x&=&2\\
x&=&1&&x&=&\frac{2}{3}\\
\end{array}$$
Týmto
postupom sme vypočítali $x$-ovú súradnicu inflexné hodu. Aby sme
dokázali nakresliť graf funkcie $f$, je nutné dopočítať aj $y$-ovú
súradnicu tohto bodu a to tak, že do predpisu funkcie $f$ za $x$
dosadíme číslo $1$ a číslo $\frac{2}{3}$.
9. Intervaly, v ktorých je funkcia konkávna, konvexná
Funkcia je konvexná vtedy a len vtedy, ak $ f^{\prime\prime}(x)>0$ t.j.
$$
64(x-1)(3x-2)>0
$$
Chceme určiť intervaly, v ktorých je výraz $64(x-1)(3x-2)$ kladný.
Súčin
je kladný, ak prvý činiteľ je kladný (t.j. ak $x\in (1;\infty)$ a zároveň druhý činiteľ
je kladný (t.j. ak $x\in\left(\frac{2}{3};\infty\right)$), alebo ak
prvý činiteľ je záporný (t.j. ak $x\in (-\infty,1)$) a zároveň druhý činiteľ
je záporný
(t.j. ak $x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)$).
Funkcia je konvexná, ak
$$x\in (-\infty;\frac{2}{3}) \cup (1;\infty).$$
Funkcia je konkávna vtedy a len vtedy, ak $ f^{\prime\prime}(x)<0$ t.j.
$$
64(x-1)(3x-2)<0
$$
Súčin je záporný, ak prvý činiteľ je kladný (t.j. ak $x\in (1;\infty)$ a zároveň druhý činiteľ
je záporný (t.j. ak $x\in\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)$), alebo ak
prvý činiteľ je záporný (t.j. ak $x\in (-\infty,1)$) a zároveň druhý činiteľ
je kladný
(t.j. ak $x\in\left(\frac{2}{3};\infty\right)$)
Funkcia je konkávna, ak
$$x\in \left(\frac{2}{3};1\right)$$
10. Graf funkcie
