Neurčitý integrál - Príklad 4

Neurčitý integrál

Príklad 4

Vypočítajte neurčitý integrál
$$
\int{(x+3)\sqrt{x^2+6x+1}\, \mathrm{d}x}
$$

Riešenie

$$
\int{(x+3)\sqrt{x^2+6x+1}\, \mathrm{d}x}=**
$$
Substitúcia:
$$
\begin{eqnarray*}
x^2+6x+1&=&t\\
(2x+6)\, \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}t\\
2(x+3)\, \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}t\\
(x+3)\, \mathrm{d}x&=&\frac{\mathrm{d}t}{2}\\
\end{eqnarray*}
$$
$$
**=\int{\sqrt{x^2+6x+1}\underbrace{(x+3)\ \mathrm{d}x}_{\frac{\mathrm{d}t}{2}}} =\frac{1}{2}\int{\sqrt{t}\ \mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\int{t^\frac{1}{2}\ \mathrm{d}t}=
$$
$$
\frac{1}{2}\frac{t^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(x^2+6x+1)^\frac{3}{2}+C
$$

Definičný obor funkcie - Príklad 6

Definičný obor funkcie

Príklad 6

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
$$
f(x)= \sqrt{4-x^2}+\frac{1}{x-1}
$$

Riešenie:

Daná funkcia je súčtom dvoch funkcií. Definičný obor funkcie $f $ je prienikom definičných oborov funkcie $g(x)= \sqrt{4-x^2}$ a funkcie $h(x)= \frac{1}{x-1}$.

1. Nájdeme definičný obor funkcie $$g(x)= \sqrt{4-x^2}$$
Výraz pod párnou odmocninou musí byť väčší nanajvýš rovný nule:
$$
4-x^2 \geq 0
$$
Ponúkame grafické riešenie nerovnice.
Výraz na ľavej strane napíšeme v tvare súčinu. 
$$
(2-x)(2+x) \geq0
$$
Funkcia $f(x)=4-x^2$ má konkávny priebeh a body $[-2;0]$, $[2;0] $ sú priesečníky funkcie s osou $x$.
 .

$$D(g)= \left\langle-2;2\right\rangle$$
2. Nájdeme definičný obor funkcie $$h(x)= \frac{1}{x-1}$$
Výraz v menovateli (pod zlomkom) sa nesmie rovnať nule:
$$
x-1\neq 0
$$
$$
x\neq 1
$$
$$D(h)= (-\infty; 1)\cup(1;\infty)$$
Definičným oborom funkcie $f$ je interval: $ \left\langle -2;1) \cup (1; 2\right\rangle$.