Spojitosť funkcie

Príklad 1 

Dodefinujte funkciu f v bode c tak, aby bola v tomto bode spojitá.
$$f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}, c=1.$$

Riešenie
Platí, že funkcia $f(x)$ je spojitá v bode $x_{0}$ vtedy a len vtedy ak platí:

1. funkcia je definovaná v bode $x_{0}$, t.j. $x_{0}\in D(f)$,
2. funkcia $f(x)$ má v bode $x_{0}$ limitu ($\lim_{x \to x_{0^{-}}} f(x)=\lim_{x \to x_{0^{+}}} f(x)$),
3. $\lim_{x \to x_{0}} f(x)=f(x_{0})$.

Definičný obor tejto funkcie je zadefinovaný na všetkých reálnych číslach okrem 1, t.j. $D(f)=R-\{1\}=(-\infty,1)\cup(1,\infty)$.

V ďalšom kroku zistíme či má funkcia v bode $c$ limitu:

$$\lim_{x \to c} f(x)=\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}-1}{x-1}$$

$(x^{3}-1)$ vieme rozpísať pomocou vzorca
$(a^{3}-b^{3})=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

$$\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}-1}{x-1}=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}=\lim_{x \to 1} x^{2}+x+1=1+1+1=3$$

Funkciu môžeme dodefinovať takto:

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^{3}-1}{x-1} & \textrm{, pre } x\neq 1,\\ 3 & \textrm{, pre } x=1. \end{array}\right.$$

Príklad 2
Zistite, či je funkcia $f$ bode $x_{0}=4$ spojitá
  $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^3+12x^2+12x+64}{x-4} & \textrm{, pre } x\neq 4,\\ 0 & \textrm{, pre } x=4. \end{array}\right.$$

 Riešenie: Vypočítame limitu funkcie v bode $x_{0}=4$.
  $$\lim_{x \to 4}\frac{x^3+12x^2+12x+64}{x-4}$$
Túto limitu nevieme vypočítať, preto vyrátame limitu sprava a limitu zľava.
$$\lim_{x \to 4^{+}}\frac{x^3+12x^2+12x+64}{x-4}=\infty$$
$$\lim_{x \to 4^{-}}\frac{x^3+12x^2+12x+64}{x-4}=-\infty$$

Jednostranné limity sa nerovnajú a sú nevlastné. Bod $x_{0}=4$, je bod nespojitosti funkcie druhého druhu, t.j. funkcia nie je v bode $x_{0}=4$ spojitá. Takýto bod nevieme dodefinovať na spojitý.

Neurčitý integrál - Príklad 11

Neurčitý integrál

Príklad 11

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\ln x\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie:

Daný integrál výpočítame pomocou metódy per partes. Keďže $\ln x=1\cdot \ln x$, v tomto prípade číslo $1$ považujeme za polynóm nultého stupňa.

$$\int{\ln x}\ \mathrm{d}x=\int{1\cdot\ln x}\ \mathrm{d}x=\left|\begin{array}{cc} v^{\prime}(x)=1 & u(x)=\ln x \\ v(x)=x & u^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\end{array}\right|=$$
$$x\ln x -\int{x\cdot \frac{1}{x}}\ \mathrm{d}x=x\ln x-x + C.$$

Neurčitý integrál - Príklad 10

Neurčitý integrál

Metóda PER PARTES

Metóda per partes sa využíva pri integrovaní súčinu funkcií. Vzorec (1), ktorý sa pri tejto metóde využíva, je odvodený z pravidla o derivovaní súčinu dvoch funkcií.
$$\int{u(x)\cdot v'(x)\ \mathrm{d}x}=u(x)\cdot v(x)-\int{u'(x)\cdot v(x)\ \mathrm{d}x} \hspace{4.5cm} (1)$$

Príklad 10

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie 

$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}$$
Zvoľme:
$$u(x)=x^2\qquad  v'(x)=\cos x$$
$$u'(x)=2x \qquad v(x)=\sin x$$
Využijeme vzťah (1)
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}=x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}$$
Na výpočet integrálu $\displaystyle\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}$ použujeme metódu per partes.

Zvoľme:
$$u(x)=2x\qquad  v'(x)=\sin x$$
$$u'(x)=2\qquad  v(x)=-\cos x$$
$$\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}=2x\cdot(-\cos x)-\int{2\cdot (-\cos x)\ \mathrm{d}x}=$$
$$2x\cdot(-\cos x)+2\int{\cos x\ \mathrm{d}x}=-2x\cdot \cos x+2 \sin x +C$$
Záver:
$$\int{x^2\cdot \cos x\ \mathrm{d}x}= x^2\cdot \sin x -\int{2x\cdot \sin x\ \mathrm{d}x}=$$
$$x^2\cdot \sin x +2x\cdot \cos x-2 \sin x +C=(x^2-2)\sin x+2x\cos x+C$$

Neurčitý integrál - Príklad 9

Neurčitý integrál 

Príklad 9

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie

Funkcia $\displaystyle\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}$ nie je rýdzoracionálna.

Najprv vydelíme polynóm z čitateľa funkcie polynómom z jej menovateľa. Zvyšok po tomto podiele je už rýdzoracionálnou funkciou.
$$\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}=(2x^3+5x^2+8):(2x^2+7x-15)=x-1+\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}$$
$$\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}=x-1+\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}$$
$$\int{\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}=\int{\left(x-1+\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}\right)\ \mathrm{d}x}=$$
$$\int{x\ \mathrm{d}x}-\int{1\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}$$
Funkcia $\displaystyle \frac{22x-7}{2x^2+7x-15}$ je rýdzoracionálna, teda na výpočet integrálu možeme použiť metódu: rozklad na parciálne zlomky.
$$\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}=\frac{22x-7}{(2x-3)(x+5)}=\frac{A}{2x-3}+\frac{B}{x+5}$$
$$\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}=\frac{A(x+5)+B(2x-3)}{(2x-3)(x+5)}$$

$$22x-7=A(x+5)+B(2x-3)=(A+2B)x+(5A-3B)$$
$$\begin{eqnarray*} \textrm{koeficient pri} \qquad  x^1; \quad 22&=&A+2B\\ x^0;\quad -7&=&5A-3B\\ \end{eqnarray*}$$
Riešením sústavy je: $A=4$ a $B=9$.
$$\int{\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}=\int{x}\ \mathrm{d}x-\int{1}\ \mathrm{d}x+\int{\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}}\ \mathrm{d}x=$$
$$\int{x}\ \mathrm{d}x-\int{1}\ \mathrm{d}x+\int{\frac{4}{2x-3}}+\int{\frac{9}{x+5}}\ \mathrm{d}x=$$
$$\frac{x^2}{2}-x+2\ln{\left|2x-3\right|}+9\ln{\left|x+5\right|}+C$$

Neurčitý integrál - Príklad 8

Neurčitý integrál

Príklad 8

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\frac{x^2+7x+8}{x^3+4x^2+4x}\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie

$$\frac{x^2+7x+8}{x^3+4x^2+4x}=\frac{x^2+7x+8}{x(x+2)^2}= \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^2}$$
$$\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2)^2}=\frac{A(x+2)^2+Bx(x+2)+Cx}{x(x+2)^2}=$$
$$\frac{Ax^2+4Ax+4A+Bx^2+2Bx+Cx}{x(x+2)^2}$$
Porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách $x$ dostávame sústavu troch rovníc o troch neznámych:
$$\begin{eqnarray*} A+B&=&1\\ 4A+2B+C&=&7\\ 4A&=&8\\ \end{eqnarray*}$$
Riešením sústavy rovníc je: $A=2$, $B=-1$,  $C=1$.
$$\int{\frac{x^2+7x+8}{x^3+4x^2+4x}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{A}{x}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{B}{x+2}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{C}{(x+2)^2}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\int{\frac{2}{x}\ \mathrm{d}x}-\int{\frac{1}{x+2}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{1}{(x+2)^2}\ \mathrm{d}x}= 2\ln\left|x\right|-\ln\left|x+2\right|-\frac{1}{x-2}+C$$

Neurčitý integrál - Príklad 7

Neurčitý integrál

 

Príklad 7

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie

Funkcia $\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x^2+4)}$ je rýdzoracionálna, keďže v čitateli je polynóm nultého stupňa a v menovateli polynóm tretieho stupòa.

Polynóm $x^2+4$ je ireducibilný nad $\mathbb{R}$ (nerozložiteľný na súčin polynómov prvého stupňa s reálnymi koeficientami). Preto v menovateli druhého zlomku vystupuje on sám a v čitateli vystupuje všeobecný tvar polynómu prvého stupňa.

Teda hľadáme nasledujúci rozklad na parciálne zlomky:
$$\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$$
$$\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}=\frac{A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+4)}=$$
$$\frac{Ax^2+4A+Bx^2-Bx+Cx-C}{(x-1)(x^2+4)}$$
Aby sa zlomky rovnali musí platiť:
$$\begin{eqnarray*} 1&=&Ax^2+4A+Bx^2-Bx+Cx-C\\ 1&=&(A+B)x^2+(C-B)x+(4A-C)\\ \end{eqnarray*}$$
Riešime sústavy lineárnych rovníc (troch rovníc o troch neznámych).
$$\begin{eqnarray*} \textrm{koeficient pri}\qquad x^2; \quad A+B&=&0\\ \qquad x^1; \quad C-B&=&0\\ \qquad x^0; \quad 4A-C&=&1\\ \end{eqnarray*}$$
$$A=\frac{1}{5}\ \ \ B=-\frac{1}{5}\ \ C=-\frac{1}{5}$$
$$\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+4)}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{\frac{1}{5}}{x-1}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{-\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{x+1}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x-1}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{x}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}-\frac{1}{5}\int{\frac{1}{x^2+4}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\frac{1}{5}\ln\left|x-1\right|-\frac{1}{10}\ln\left|x^2+4\right|-\frac{1}{10}\arctan\frac{x}{2}+C$$

Neurčitý integrál - Príklad 6

Neurčitý integrál 

 Integrovanie racionálnych funkcií, rozklad na parciálne zlomky

Funkciu, ktorá je podielom dvoch polynómov nazývame racionálnou funkciou. Ak stupeň polynómu v čitateli je ostro menší ako stupeň polynómu v menovateli, hovoríme o rýdzoracionálnej funkcii. Každú racionálnu funkciu možno vyjadriť ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie (v prípade, ak daná funkcia je rýdzoracionálna príslušný polynóm je rovný nule).

Každú rýdzoracionálnu funkciu možno rozložiť na súčet tzv. parciálnych (elementárnych) zlomkov. Pod parciálnymi zlomkami rozumieme zlomky tvaru
$$\frac{A}{x-a}, \frac{A}{(x-a)^2},\ldots, \frac{A}{(x-a)^n},$$
kde $A,a\in \mathbb{R}$ alebo zlomky tvaru
$$\frac{Ax+B}{x^2+bx+c},\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^2},\ldots,\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^n},$$
kde $A,B,b,c\in \mathbb{R}$ a kvadratický trojčlen $x^2+bx+c$ nemá reálne korene, t.j., platí $D=b^2-4c<0$.

Neurčitý integrál z racionálnej funkcie počítame tak, že funkciu vyjadríme ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie, ktorú nasledne rozložíme na súčet parciálnych zlomkov. Týmto sa problém integrovania racionálnej funkcie redukuje na integrovanie polynómov a parciálnych zlomkov. V nasledujúcej časti demonštrujeme túto metódu na niekoľkých príkladoch.

 

Príklad 6

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}$$

Riešenie

$$\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}$$
Daná funkcie je racionálna. V čitateli aj v menovateli tohto zlomku sa nachádza polynóm.
Hovoríme, že funkcia je rýdzoracionálna, ak stupeň polynómu v čitateli je ostro menší ako stupeň polynómu v menovateli. Keďže v čitateli daného zlomku je polynóm prvého stupňa a v menovateli je polynóm druhého stupňa, táto funkcia je rýdzoracionálna. Túto funkciu rozložíme na súčet parciálnych zlomkov.
$$\frac{2x+5}{x^2-x-2} = \frac{2x+5}{(x-2)(x+1)}= \frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+1)}$$
$$\frac{2x+5}{x^2-x-2}= \frac{A(x+1)\cdot B(x-2)}{(x-2)(x+1)}= \frac{(A+B) x +A-2B}{x^2-x-2}$$
Tieto zlomky sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú polynómy v čitateli:
$${2x+5} = (A+B)x+A-2B$$
Dva polynómy sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú koeficienty pri rovnakých mocninách premennej $x$.
Teda:
$$\begin{eqnarray*} \textrm{koeficient pri} \qquad x^1; \quad 2&=&A+B\\ x^0; \quad 5&=&A-2B\\ \end{eqnarray*}$$
Riešením sústavy rovníc je: $A=3$ a $B=-1$
$$\int{\frac{2x+5}{x^2-x-2}\ \mathrm{d}x}= \int{\frac{3}{(x-2)}\ \mathrm{d}x}-\int{\frac{1}{(x+1)}\ \mathrm{d}x}=$$
$$3\cdot \int{\frac{1}{(x-2)}\ \mathrm{d}x}-\int{\frac{1}{(x+1)}\ \mathrm{d}x}=3\cdot\ln\left|x-2\right|-\ln\left|x+1\right|+C=$$
$$\ln\frac{(\left|x-2\right|)^3}{\left|x+1\right|}+C$$

Neurčitý integrál - Príklad 5

Neurčitý integrál

Príklad 5

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{\frac{\ \mathrm{d}x}{x\ln x}}$$

Riešenie

$$\int{\frac{\ \mathrm{d}x}{x\ln x}}=***$$
Substitúcia:
$$\begin{eqnarray*} \ln x&=&u\\ \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}u\\ \end{eqnarray*}$$
$$***=\int{\frac{1}{\ln x}}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}\ \mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u} = \int{\frac{1}{u}\ \mathrm{d}u} =\ln \left|u\right| +C=\ln \left|\ln x\right| +C$$

Neurčitý integrál - Príklad 4

Neurčitý integrál

Príklad 4

Vypočítajte neurčitý integrál
$$\int{(x+3)\sqrt{x^2+6x+1}\, \mathrm{d}x}$$

Riešenie

$$\int{(x+3)\sqrt{x^2+6x+1}\, \mathrm{d}x}=**$$
Substitúcia:
$$\begin{eqnarray*} x^2+6x+1&=&t\\ (2x+6)\, \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}t\\ 2(x+3)\, \mathrm{d}x&=&\mathrm{d}t\\ (x+3)\, \mathrm{d}x&=&\frac{\mathrm{d}t}{2}\\ \end{eqnarray*}$$
$$**=\int{\sqrt{x^2+6x+1}\underbrace{(x+3)\ \mathrm{d}x}_{\frac{\mathrm{d}t}{2}}} =\frac{1}{2}\int{\sqrt{t}\ \mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\int{t^\frac{1}{2}\ \mathrm{d}t}=$$
$$\frac{1}{2}\frac{t^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(x^2+6x+1)^\frac{3}{2}+C$$

Definičný obor funkcie - Príklad 6

Definičný obor funkcie

Príklad 6

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:
$$f(x)= \sqrt{4-x^2}+\frac{1}{x-1}$$

Riešenie:

Daná funkcia je súčtom dvoch funkcií. Definičný obor funkcie $f$ je prienikom definičných oborov funkcie $g(x)= \sqrt{4-x^2}$ a funkcie $h(x)= \frac{1}{x-1}$.

1. Nájdeme definičný obor funkcie $$g(x)= \sqrt{4-x^2}$$
Výraz pod párnou odmocninou musí byť väčší nanajvýš rovný nule:
$$4-x^2 \geq 0$$
Ponúkame grafické riešenie nerovnice.
Výraz na ľavej strane napíšeme v tvare súčinu. 
$$(2-x)(2+x) \geq0$$
Funkcia $f(x)=4-x^2$ má konkávny priebeh a body $[-2;0]$, $[2;0]$ sú priesečníky funkcie s osou $x$.
 .

$$D(g)= \left\langle-2;2\right\rangle$$
2. Nájdeme definičný obor funkcie $$h(x)= \frac{1}{x-1}$$
Výraz v menovateli (pod zlomkom) sa nesmie rovnať nule:
$$x-1\neq 0$$
$$x\neq 1$$
$$D(h)= (-\infty; 1)\cup(1;\infty)$$
Definičným oborom funkcie $f$ je interval: $\left\langle -2;1) \cup (1; 2\right\rangle$.