Matice, hodnosť matíc - Príklad 6

Matice, hodnosť matíc

Hodnosť matice $A$ (ozn. $rank(A)$) je číslo, ktoré určuje maximálny počet lineárne nezávislých riadkov (stĺpcov) matice.

Hodnosť matice sa nezmení pri vykonaní nasledujúcich operácií:

E1: výmena poradia riadkov (stĺpcov),
E2: vynásobenie ľubovoľného riadku (stĺpca) číslom rôznym od nuly,
E3: k ľubovoľnému riadku (stĺpcu) pripočítanie lineárnej kombinácie iných riadkov (stĺpcov) matice.

Hodnosť matice vypočítame využitím ekvivalentných úprav tak, aby sme pod diagonálou (uhlopriečkou) matice dostali samé nuly.

Príklad 6

 

Určte hodnosť nasledujúcej matice $A$:
$$
A=\left( \begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 1&1 \\
1 & 3 & -2&18 \\
4 & 2 & 1&5 \\
3 & 1 & 2&-2
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

 

Hodnosť matice $A$ môže by maximálne $4$, keďže táto matica má práve štyri riadky.
Na maticu $A$ postupne aplikujme kroky $E1$ až $E3$ podľa toho, akú úpravu vykonávame.
$$
A=
\left( \begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 1&1 \\
1 & 3 & -2&18 \\
4 & 2 & 1&5 \\
3 & 1 & 2&-2
\end{array} \right)
$$
Z dôvodu, aby sme sa vyhli zlomkom je prvým krokom výmena prvých dvoch riadkov matice $A$. Dostávame maticu:
$$
\left( \begin{array}{rrrr}
1& 3 & -2&18 \\
2 & 1 & 1&1 \\
4 & 2 & 1&5 \\
3 & 1 & 2&-2
\end{array} \right)
$$
K druhému, tretiemu a napokon štvrtému riadku pripočítame vhodný násobok prvého riadku matice tak, aby sme postupne vynulovali čísla v prvom stĺpci od druhého riadku počnúc. 
$$
\left( \begin{array}{rrrr}
1& 3 & -2&18 \\
2 & 1 & 1&1 \\
4 & 2 & 1&5 \\
3 & 1 & 2&-2
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
-2R1\\
-4R1\\
-3R1
\end{array}
$$
Následne vynásobíme druhý riadok matice číslom $\frac{1}{5}$ preto, kvôli uľahčeniu ďalšieho výpočtu.
$$
\left( \begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -2&18 \\
0 & -5 & 5&-35 \\
0 & -10 & 9&-67 \\
0 & -8 & 8&-56
\end{array} \right)
\begin{array}{r}

\cdot\frac{1}{5}\\
\\
\\
\end{array}
$$
K tretiemu a štvrtému riadku pripočítame vhodný násobok druhého riadku matice tak, aby sme postupne vynulovali čísla v druhom stĺpci od tretieho riadka počnúc. 
$$
\left( \begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -2&18 \\
0 & -1 & 1&-7 \\
0 & -10 & 9&-67 \\
0 & -8 & 8&-56
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
\\
-10R2\\
-8R2\\
\end{array}
$$
Takými to operáciami dostávame jeden nulový riadok.
$$
\left( \begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -2&18 \\
0 & -1 & 1&-7 \\
0 & 0 & -1&3 \\
0 & 0 & 0&0
\end{array} \right)
$$
Nulový riadok môžeme z matice vynechať a dostávame maticu:
$$
\left( \begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -2&18 \\
0 & -1 & 1&-7 \\
0 & 0 & -1&3 \\
\end{array} \right)
$$
V takto upravenej matici sú riadky matice lineárne nezávislé.
Teda hodnosť matice $A$ je $3$.