Matice, hodnosť matíc - Príklad 6

Matice, hodnosť matíc

Hodnosť matice $A$ (ozn. $rank(A)$) je číslo, ktoré určuje maximálny počet lineárne nezávislých riadkov (stĺpcov) matice.

Hodnosť matice sa nezmení pri vykonaní nasledujúcich operácií:

E1: výmena poradia riadkov (stĺpcov),
E2: vynásobenie ľubovoľného riadku (stĺpca) číslom rôznym od nuly,
E3: k ľubovoľnému riadku (stĺpcu) pripočítanie lineárnej kombinácie iných riadkov (stĺpcov) matice.

Hodnosť matice vypočítame využitím ekvivalentných úprav tak, aby sme pod diagonálou (uhlopriečkou) matice dostali samé nuly.

Príklad 6

 

Určte hodnosť nasledujúcej matice $A$:
$$A=\left( \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 1&1 \\ 1 & 3 & -2&18 \\ 4 & 2 & 1&5 \\ 3 & 1 & 2&-2 \end{array} \right)$$

Riešenie:

 

Hodnosť matice $A$ môže by maximálne $4$, keďže táto matica má práve štyri riadky.
Na maticu $A$ postupne aplikujme kroky $E1$ až $E3$ podľa toho, akú úpravu vykonávame.
$$A= \left( \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 1&1 \\ 1 & 3 & -2&18 \\ 4 & 2 & 1&5 \\ 3 & 1 & 2&-2 \end{array} \right)$$
Z dôvodu, aby sme sa vyhli zlomkom je prvým krokom výmena prvých dvoch riadkov matice $A$. Dostávame maticu:
$$\left( \begin{array}{rrrr} 1& 3 & -2&18 \\ 2 & 1 & 1&1 \\ 4 & 2 & 1&5 \\ 3 & 1 & 2&-2 \end{array} \right)$$
K druhému, tretiemu a napokon štvrtému riadku pripočítame vhodný násobok prvého riadku matice tak, aby sme postupne vynulovali čísla v prvom stĺpci od druhého riadku počnúc. 
$$\left( \begin{array}{rrrr} 1& 3 & -2&18 \\ 2 & 1 & 1&1 \\ 4 & 2 & 1&5 \\ 3 & 1 & 2&-2 \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ -2R1\\ -4R1\\ -3R1 \end{array}$$
Následne vynásobíme druhý riadok matice číslom $\frac{1}{5}$ preto, kvôli uľahčeniu ďalšieho výpočtu.
$$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & -2&18 \\ 0 & -5 & 5&-35 \\ 0 & -10 & 9&-67 \\ 0 & -8 & 8&-56 \end{array} \right) \begin{array}{r} \cdot\frac{1}{5}\\ \\ \\ \end{array}$$
K tretiemu a štvrtému riadku pripočítame vhodný násobok druhého riadku matice tak, aby sme postupne vynulovali čísla v druhom stĺpci od tretieho riadka počnúc. 
$$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & -2&18 \\ 0 & -1 & 1&-7 \\ 0 & -10 & 9&-67 \\ 0 & -8 & 8&-56 \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ \\ \\ -10R2\\ -8R2\\ \end{array}$$
Takými to operáciami dostávame jeden nulový riadok.
$$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & -2&18 \\ 0 & -1 & 1&-7 \\ 0 & 0 & -1&3 \\ 0 & 0 & 0&0 \end{array} \right)$$
Nulový riadok môžeme z matice vynechať a dostávame maticu:
$$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & -2&18 \\ 0 & -1 & 1&-7 \\ 0 & 0 & -1&3 \\ \end{array} \right)$$
V takto upravenej matici sú riadky matice lineárne nezávislé.
Teda hodnosť matice $A$ je $3$.