Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov - Príklad 1

Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov

Príklad 1

Zistite, či vektory $\displaystyle \mathbf{a}=(1;0;0)$, $\displaystyle \mathbf{b}=(1;-1;0)$, $\displaystyle \mathbf{c}=(2;2;1)$ sú lineárne závislé alebo nezávislé.

Riešenie:

Chceme zistiť, pre aké konštanty $k_1, k_2, k_3$ je lineárna kombinácia vektorov $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ rovná nulovému vektoru.

$$k_1\cdot\mathbf{a} +k_2\cdot\mathbf{b} +k_3\cdot\mathbf{c} =\mathbf{0}$$ $$k_1\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\0 \end{array}\right)+ k_2\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\0 \end{array}\right)+ k_3\cdot \left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\1 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{r} 0\\ 0\\0 \end{array}\right)$$ Každý z vektorov vynásobíme príslušnou konštantou $k_1, k_2, k_3$.

Násobiť vektor skalárom (číslom) znamená vynásobiť každú zložku daného vektora konštantou: $$\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_1\\ 0\cdot k_1\\0\cdot k_1 \end{array}\right)+ \left( \begin{array}{r} 1\cdot k_2\\ -1\cdot k_2\\0\cdot k_2 \end{array}\right)+ \left( \begin{array}{r} 2\cdot k_3\\ 2\cdot k_3\\1\cdot k_3 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{r} 0\\ 0\\0 \end{array}\right)$$ Vektory sčítame tak, že ščítame ich po zložkách: $$\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_1 +1\cdot k_2+2\cdot k_3\\ 0\cdot k_1 -1\cdot k_2+2\cdot k_3\\0\cdot k_1 +0\cdot k_2+1\cdot k_3 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{r} 0\\ 0\\0 \end{array}\right)$$ Dva vektory sa rovnajú, ak sa rovnajú ich zložky na rovnakých pozíciách.

Posledná rovnosť je ekvivalentná so sústavou lineárnych rovníc. Zistenie za akých podmienok je lineárna kombinácia rovná nulovému vektoru je ekvivalentné so zistením pre aké hodnoty $k_1, k_2, k_3$ má riešenie sústava lineárnych rovníc. $$\begin{eqnarray*} k_1 +k_2+2\cdot k_3&=&0\\ 0\cdot k_1 - k_2+2\cdot k_3&=&0\\ 0\cdot k_1 +0\cdot k_2+k_3&=&0 \end{eqnarray*}$$ Ak riešením tejto sústavy lineárnych rovníc bude jediná trojica v tvare usporiadanej trojice a to: $\displaystyle [0,0,0]$, tak vektory $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ sú lineárne nezávislé.

Ak existuje nenulové riešenie tejto sústavy, tak vektory $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ sú lineárne závislé. Z poslednej rovnice vidieť, že $\displaystyle k_3=0$, z druhej rovnice $\displaystyle k_2=0$, a napokon z prvej rovnice $\displaystyle k_1=0$. Sústava troch rovníc o troch neznámych má teda jediné riešenie v tvare usporiadanej trojice $\displaystyle [0,0,0]$.

Záver: vekrory $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ sú lineárne nezávislé.