Overovanie riešení diferenciálnych rovníc - Príklad 1

Overovanie riešení diferenciálnych rovníc

Príklad 1

Overte, či $\displaystyle y=2x\cdot e^{-4x}$ je riešením nasledujúcej diferenciálnej rovnice
$$
y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0
$$

Riešenie

Chceme ukázať, že $y= 2x\cdot e^{-4x}$ je riešením diferenciálnej rovnice
$$
y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0.
$$
V rovnici vystupuje $y$ (predpis tejto funkcie je daný), $ y^{\prime} $ a $ y^{\prime \prime} $, teda
$$
y^{\prime}= 2\cdot e^{-4x}+2x\cdot(-4)\cdot e^{-4x}=2\cdot e^{-4x}\left(1-4x\right)
$$
$$
y^{\prime\prime}= 2\cdot e^{-4x}(-4)(1-4x)+2\cdot(-4)\cdot e^{-4x}=-8\cdot e^{-4x}\left(2-4x\right)
$$
Následne dosadíme tieto derivácie do rovnice $y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0$, dostávame
$$
2\cdot e^{-4x}\left(1-4x\right)+8(-8\cdot e^{-4x}\left(2-4x\right))+16(2x\cdot e^{-4x})=0.
$$
Keďže výraz na ľavej strane rovnice je rovný nule a aj pôvodná práva strana rovnice je rovná nule je  $\displaystyle y=2x\cdot e^{-4x}$ riešením diferenciálnej rovnice
$y^{\prime\prime}+8y^{\prime}+16y=0$.

Sústava lineárnych algebrických rovníc - Príklad 4

Sústava lineárnych algebrických rovníc

Príklad 4

Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc:
$$
\begin{array}{rrr}
 2x_1-x_2-x_3&=&4\\
 3x_1+4x_2-2x_3&=&11\\
 3x_1-2x_2+4x_3&=&11\\
\end{array} $$

Riešenie:

Najprv prepíšeme sústavu lineárnych algebrických rovníc do maticového tvaru:
$$
\left(
\begin{array}{rrr|r}
2& -1&-1&4\\
3 & 4&-2&11\\
3 & -2&4&11\\
\end{array} \right)
$$
Ak existuje riešenie tejto sústavy lineárnych rovníc, tak toto riešenie bude v tvare usporiadanej trojice $ \left[x_1;x_2; x_3 \right]$.

Cramerovo pravidlo môžeme použiť iba vtedy, ak determinant, ktorý vznikne z matice bez jej pravej strany je rôzny od nuly.
$$
D= \left|
\begin{array}{rrr}
2& -1&-1\\
3 & 4&-2\\
3 & -2&4\\
\end{array}\right| =60
$$
Determinant z matice je rôzny od nuly. Môžeme ďalej pokračovať v riešení použitím Cramerovho pravidla.

Hodnoty premenných  $x_1$, $x_2$ a $x_3$ vypočítame využitím vzťahov:
$$
x=\frac{D_{x_1}}{D},
$$
$$
y=\frac{D_{x_2}}{D},
$$
$$
z=\frac{D_{x_3}}{D},
$$
kde determinant $D_{x_1}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto prvého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x_1$) použijeme stĺpec pravých strán, determinant $D_{x_2}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x_2$) použijeme stĺpec pravých strán a determinant $D_{x_3}$ vznikne z determinantu $D$ tak, že namiesto druhého stĺpca (stĺpec, v ktorom sa vyskytujú hodnoty premennej $x_3$) použijeme stĺpec pravých strán.
$$
D_{x_1}= \left|
\begin{array}{rrr}
4& -1&-1\\
11 & 4&-2\\
11 & -2&4\\
 \end{array}\right| =180
$$
$$
D_{x_2}= \left|
\begin{array}{rrr}
2& 4&-1\\
3 & 11&-2\\
3 & 11&4\\
\end{array}\right| =60
$$
$$
D_{x_3}= \left|
\begin{array}{rrr}
2& -1&4\\
3 & 4&11\\
3 & -2&11\\
\end{array}\right| =60
$$
Samotné riešenie sústavy:
$$
x=\frac{D_{x_1}}{D}= \frac{180}{60}=3
$$
$$
y=\frac{D_{x_2}}{D}= \frac{60}{60}=1
$$
$$
z=\frac{D_{x_3}}{D}= \frac{60}{60}=1
$$
Sústava lineárnych algebrických rovníc má jediné riešenie v tvare usporiadanej trojice: $ \left[3;1;1 \right]$.

Derivácia funkcie - Príklad 10

Derivácia funkcie

Príklad 10

Vypočítajte deriváciu funkcie $g$ a výsledok upravte.
$$g(x)= \frac{\ln x}{x}+e^x(\sin x+\cos x)$$

Riešenie

$$g(x)= \frac{\ln x}{x}+e^x(\sin x+\cos x)$$
Derivácia súčtu funkcií je súčet derivovaných funkcií.
$$g^{\prime}(x)=\left (\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}+(e^x(\sin x+\cos x))^{\prime}$$
$$= \frac{(\ln x)^{\prime} x - \ln x (x) ^{\prime}}{x^2}+{e^x}^{\prime}(\sin x+\cos x)+e^x(\sin x+\cos x)^{\prime}$$
$$= \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2}+e^x (\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)$$ 
$$= \frac{1 - \ln x }{x^2}+e^x (\sin x+\cos x+\cos x-\sin x)$$
$$= \frac{1 - \ln x }{x^2}+e^x \cdot 2\cos x$$ 

Derivácia funkcie - Príklad 6

Derivácia funkcie - Príklad 6

 

Príklad4

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte
$$y=\ln \sin x$$

Riešenie:

$y'=(\ln \sin x)'=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle\sin x}\cos x= \frac{\displaystyle\cos x}{\displaystyle\sin
x}=\cot x$

Derivácia funkcie - Príklad 8

Derivácia funkcie - Príklad8

 

Príklad4

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte
$$y=5x^4-6\sqrt[4]{x^5}+\frac{3}{\sqrt{x}}-8$$

Riešenie:

Pred derivovaním najprv upravíme všetky mocniny na zlomky, následne použijeme vety o deriváciách.

$y'=\left(5x^4-6\sqrt[4]{x^5}+\frac{3}{\sqrt{x}}-8\right)'=\left(5x^4-6x^{\frac{5}{4}}+3x^{\frac{-1}{2}}-8\right)'=$
$=20x^3-\frac{30}{4}x^{\frac{1}{4}}-\frac{3}{2}x^{\frac{-3}{2}}=
20x^3-\frac{15}{2}\sqrt[4]{x}-\frac{3}{2\sqrt{x^3}}$

Derivácia funkcie - Príklad 9

Derivácia funkcie - Príklad 9

 

Príklad4

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte
$$y=(x^5-6x)^{9}$$

Riešenie:

$y'=\left((x^5-6x)^{9}\right)'=9(x^5 - 6x)^8 (5x^4 - 6)$

Limita postupnosti - Príklad 2

Limita postupnosti 

Príklad 2

Vypočítajte limitu postupnosti
$$
\lim_{n\rightarrow \infty}{{\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}}^n
$$

Riešenie:

Limitu postupnosti  $$\lim_{n\rightarrow \infty}{{\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}}^n $$ upravíme tak, aby sme mohli využiť vzťah:
$$
\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n =e
$$
$$
\frac{n-1}{n+1}= \frac{n-1-1+1}{n+1}=\frac{n+1-2}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{2}{n+1}=1+\frac{1}{\frac{n+1}{-2}}
$$
$$
\lim_{n\rightarrow \infty}{{\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}}^n =\lim_{n\rightarrow \infty}{{\left(1+\frac{1}{\frac{n+1}{-2}}\right)}}^n
$$
Zavedieme substitúciu:
$$\frac{n+1}{-2}=t$$
$$n+1=-2t$$
$$n=-2t-1$$
vrátime sa príkadu:
$$\lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-2t-1}=
\lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-2t}\cdot\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-1}=$$
$$\lim_{t\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{-2}\cdot\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-1}=e^{-2}$$

Derivácia funkcie - Príklad 3

Derivácia funkcie

Príklad 3

Vypočítajte deriváciu nasledujúcej funkcie a výsledok upravte.
$$y= \tan x-x$$

Riešenie:

$$y^{\prime}=\left(\tan x-x\right)^{\prime}=\left(\tan x\right)^{\prime}-x^{\prime}=$$
Pri úprave výrazu využívame nasledujúce goniometrické vzťahy:
$$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$
$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

$$\frac{1}{\cos^2 x}-1=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos^2 x}-\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\tan^2 x$$