Neurčitý integrál - Príklad 3

Neurčitý integrál 

Substitučná metóda
Hlavnou myšlienkou substitučnej metódy je vo výpočte ekvivalentne nahradiť pôvodný integrál takým integrálom, ktorý sa ľahšie vypočíta.
Táto metóda je odvodená od vzťahu pre deriváciu zloženej funkcie a jej princíp ukážeme v nasledujúcich príkladoch.

Príklad 3

Vypočítajte neurčitý integrál
$$
\int{x\cdot e^{-x^2}\mathrm{d}x}
$$

Riešenie

$$
\int{x\cdot e^{-x^2}\mathrm{d}x}=*
$$
Často je vhodné zvoliť do substitúcie vnutornú zložku zloženej funkcie
$$\begin{eqnarray*}
 -x^2&=&u \quad \textrm{derivujeme}\\
 -2x\mathrm{d}x&=&\mathrm{d}u\\
 x\ \mathrm{d}x&=&\frac{\mathrm{d}u}{-2}\\
\end{eqnarray*}
$$
$$
*=\int{ e^{-x^2}\cdot \underbrace{x\ \mathrm{d}x}_{\frac{\mathrm{d}u}{-2}}}
$$
Substitúcia je vtedy dobrá, ak po jej zavedení sa vo výraze nevyskytuje premenná $x$.

$$\int{e^u\ \frac{\mathrm{d}u}{-2}}=-\frac{1}{2}\cdot \int{e^u\ \mathrm{d}u}= -\frac{1}{2}\cdot e^u+C=-\frac{1}{2}\cdot e^{-x^2}+C
$$