Najväčšia a najmenšia hodnota spojitej funkcie v uzavretom intervale - Príklad 1

Najväčšia a najmenšia hodnota spojitej funkcie v uzavretom intervale

Príklad 1

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v danom intervale.
$$f(x)=x^2e^{-x}, x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle$$

Riešenie

Spojitá funkcia môže nadobúdať najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v uzavretom intervale v bodoch:

• v ktorých existujú lokálne extrémy funkcie,
• kde neexistuje prvá derivácia funkcie,
• a v hraničných bodoch intervalu.

Najprv nájdeme lokálne extrémy funkcie $f$.
Postup pri hľadaní lokálnych extrémov funkcie:

1. Určiť definičný obor funkcie,
2. vypočítať prvú deriváciu a položiť ju rovnú nule (nájsť kandidátov na lokálne extrémy funkcie teda stacionárne body),
3. vypočítať druhú deriváciu funkcie a určiť znamienko druhej derivácie v stacionárnych bodoch funkcie.

1. V zadaní úlohy je špecifikovaný interval, na ktorom vyšetrujeme maximum a minimum funkcie.
Teda nie je potrebné určiť definičný obor funkcie.
$$x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle$$

2. Vypočítame prvú deriváciu funkcie a položíme ju rovnú nule:
$$f(x)=x^2e^{-x}$$
$$f^{\prime}(x)=({x^2})^{\prime}e^{-x}+x^2({e^{-x}})^{\prime}$$
$$f^{\prime}(x)=2xe^{-x}+x^2e^{-x}(-1)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}(2x-x^2)$$
$$f^{\prime}(x)=0$$
$$e^{-x}(2x-x^2)=0$$
$e^{-x}=0$ alebo $(2x-x^2)=0$
Neexistuje také $x$,  funkcia  $e^{-x}$ je rovná nule.

Graf funkcie:

Súčin dvoch funkcií $e^{-x}(2x-x^2)$ je rovný nule, ak $2x-x^2=0$.
Tento súčin je rovný nule, ak $x=0$ alebo $x=2$.
Keďže $2\notin\left\langle-1, 1 \right\rangle$,  zistíme či v bode $[0;f(0)]$ je lokálny extrém funkcie $f$.

3. Vypočítame druhú deriváciu funkcie a určíme znamienko druhej derivácie v stacionárnych bodoch funkcie pomocou vety:
Ak $f^{\prime \prime}(x)>0$, tak v bode $[x;f(x)]$ je lokálne minimum.
Ak $f^{\prime \prime}(x)<0$, tak v bode $[x;f(x)]$ je lokálne maximum.
$$f^{\prime}(x)=e^{-x}(2x-x^2)$$
$$f^{\prime \prime}(x)=(e^{-x})^{\prime}(2x-x^2)+e^{-x}(2x-x^2)^{\prime}$$
$$f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}(-1)(2x-x^2)+e^{-x}(2-2x)$$
$$f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}(-2x+x^2+2-2x)=e^{-x}(x^2-4x+2)$$
$$f^{\prime \prime}(0)=e^{-0}(0^2-4\cdot0+2)=1 \cdot 2=2>0$$
V bode $[0;0]$ je lokálne minimum.

V závere už len zistíme funkčné hodnoty v hraničných bodoch intervalu, keďže derivácia funkcie existuje na celom $\mathrm{R}$.
$$f(x)=x^2e^{-x}$$
$$f(-1)=(-1)^2e^{-(-1)}=e$$
$$f(1)=1^2e^{-1}=\frac{1}{e}$$

Najväčšia hodnota funkcie $f(x)$ na intervale  $x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle$ je v bode $[-1;e]$.
Najmenšia hodnota funkcie $f(x)$ na intervale $x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle$ je v bode $[0;0]$.