Vektory - Príklad 1a)

Vektory

Príklad 1a)

Pre aké hodnoty parametra $p\in\mathbb{R}$ je vektor $\mathbf{d}$ lineárnou kombináciou vektorov $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$, ak $\mathbf{a}=(1;2;3)$, $\mathbf{b}=(2;-1;1)$, $\mathbf{c}=(1;7;8)$, $\mathbf{d}=(4;3;p)$

Riešenie:

Vektor $\mathbf{d}$ je lineárnou kombináciou vektorov $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ práve vtedy, ak existujú koeficienty $k_1,k_2,k_3$ spĺňajúce rovnosť:
$$k_1\cdot \mathbf{a} +k_2\cdot \mathbf{b} +k_3\cdot \mathbf{c} =\mathbf{d}$$
$$k_1\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\3 \end{array}\right)+ k_2\cdot \left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\1 \end{array}\right)+ k_3\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 7\\8 \end{array}\right)=  \left( \begin{array}{r} 4\\ 3\\p \end{array}\right)$$
$$\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_1\\ 2\cdot k_1\\3\cdot k_1 \end{array}\right)+ \left( \begin{array}{r} 2\cdot k_2\\ -1\cdot k_2\\1\cdot k_2 \end{array}\right)+ \left( \begin{array}{r} 1\cdot k_3\\ 7\cdot k_3\\8\cdot k_3 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{r} 4\\ 3\\p \end{array}\right)$$
$$\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_1 + 2\cdot k_2 + 1\cdot k_3\\ 2\cdot k_1 -1\cdot k_2 + 7\cdot k_3\\ 3\cdot k_1 +1\cdot k_2 + 8\cdot k_3 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{r} 4\\ 3\\p \end{array}\right)$$
Túto rovnosť dvoch vektorov prepíšeme do sústavy lineárnych algebrických rovníc o troch neznámych:
$$\begin{eqnarray}   k_1 + 2k_2 + k_3&=&4\\   2 k_1 -k_2 + 7k_3&=&3\\   3k_1 + k_2 + 8k_3&=&p\\ \end{eqnarray}$$

Vektor $\mathbf{d}$ je lineárnou kombináciou vektorov $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ práve vtedy, ak táto sústava troch rovníc s neznámymi $k_1,k_2,k_3$ má riešenie.
$$\left( \begin{array}{rrr|r}  1& 2 & 1&4\\  2& -1 & 7&3\\  3& 1 & 8&p\\  \end{array}\right)  \sim  \left( \begin{array}{rrr|l}  1& 2 & 1&\phantom{-}4\\  0& -5 & 5&-5\\  0& -5 & 5&p-12\\  \end{array}\right)   \sim  \left( \begin{array}{rrr|l}  1& 2 & 1&\phantom{-}4\\  0& -5 & 5&-5\\  0& 0 & 0&p-7\\  \end{array}\right)$$

Sústava lineárnych rovníc má riešenie iba v prípade, že $p-7 =0$. Teda, ak $p=7$.

Vektor $\mathbf{d}$ je lineárnou kombináciou vektorov $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ len vtedy, ak  $p=7$.