Processing math: 0%

nedeľa 16. decembra 2012

Najväčšia a najmenšia hodnota spojitej funkcie v uzavretom intervale - Príklad 1

Najväčšia a najmenšia hodnota spojitej funkcie v uzavretom intervale


Príklad 1


Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v danom intervale.
f(x)=x^2e^{-x}, x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle

Riešenie

Spojitá funkcia môže nadobúdať najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v uzavretom intervale v bodoch:
  • v ktorých existujú lokálne extrémy funkcie,
  • kde neexistuje prvá derivácia funkcie,
  • a v hraničných bodoch intervalu.
Najprv nájdeme lokálne extrémy funkcie f.
Postup pri hľadaní lokálnych extrémov funkcie:
  1. Určiť definičný obor funkcie,
  2. vypočítať prvú deriváciu a položiť ju rovnú nule (nájsť kandidátov na lokálne extrémy funkcie teda stacionárne body),
  3. vypočítať druhú deriváciu funkcie a určiť znamienko druhej derivácie v stacionárnych bodoch funkcie.
1. V zadaní úlohy je špecifikovaný interval, na ktorom vyšetrujeme maximum a minimum funkcie.
Teda nie je potrebné určiť definičný obor funkcie.
x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle

2. Vypočítame prvú deriváciu funkcie a položíme ju rovnú nule:
f(x)=x^2e^{-x}
f^{\prime}(x)=({x^2})^{\prime}e^{-x}+x^2({e^{-x}})^{\prime}
f^{\prime}(x)=2xe^{-x}+x^2e^{-x}(-1)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}(2x-x^2)
f^{\prime}(x)=0
e^{-x}(2x-x^2)=0
e^{-x}=0 alebo (2x-x^2)=0
Neexistuje také x,  funkcia  e^{-x} je rovná nule.

Graf funkcie:

Súčin dvoch funkcií e^{-x}(2x-x^2) je rovný nule, ak 2x-x^2=0.
Tento súčin je rovný nule, ak x=0 alebo x=2.
Keďže 2\notin\left\langle-1, 1 \right\rangle,  zistíme či v bode [0;f(0)] je lokálny extrém funkcie f.

3. Vypočítame druhú deriváciu funkcie a určíme znamienko druhej derivácie v stacionárnych bodoch funkcie pomocou vety:
Ak f^{\prime \prime}(x)>0, tak v bode [x;f(x)] je lokálne minimum.
Ak f^{\prime \prime}(x)<0, tak v bode [x;f(x)] je lokálne maximum.
f^{\prime}(x)=e^{-x}(2x-x^2)
f^{\prime \prime}(x)=(e^{-x})^{\prime}(2x-x^2)+e^{-x}(2x-x^2)^{\prime}
f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}(-1)(2x-x^2)+e^{-x}(2-2x)
f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}(-2x+x^2+2-2x)=e^{-x}(x^2-4x+2)
f^{\prime \prime}(0)=e^{-0}(0^2-4\cdot0+2)=1 \cdot 2=2>0
V bode [0;0] je lokálne minimum.

V závere už len zistíme funkčné hodnoty v hraničných bodoch intervalu, keďže derivácia funkcie existuje na celom \mathrm{R}.
f(x)=x^2e^{-x}
f(-1)=(-1)^2e^{-(-1)}=e
f(1)=1^2e^{-1}=\frac{1}{e}

Najväčšia hodnota funkcie f(x) na intervale  x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle je v bode [-1;e].
Najmenšia hodnota funkcie f(x) na intervale x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle je v bode [0;0].


sobota 15. decembra 2012

Neurčitý integrál - Príklad 3

Neurčitý integrál 

Substitučná metóda
Hlavnou myšlienkou substitučnej metódy je vo výpočte ekvivalentne nahradiť pôvodný integrál takým integrálom, ktorý sa ľahšie vypočíta.
Táto metóda je odvodená od vzťahu pre deriváciu zloženej funkcie a jej princíp ukážeme v nasledujúcich príkladoch.

Príklad 3

Vypočítajte neurčitý integrál
\int{x\cdot e^{-x^2}\mathrm{d}x}

Riešenie

\int{x\cdot e^{-x^2}\mathrm{d}x}=*
Často je vhodné zvoliť do substitúcie vnutornú zložku zloženej funkcie
\begin{eqnarray*}  -x^2&=&u \quad \textrm{derivujeme}\\  -2x\mathrm{d}x&=&\mathrm{d}u\\  x\ \mathrm{d}x&=&\frac{\mathrm{d}u}{-2}\\ \end{eqnarray*}
*=\int{ e^{-x^2}\cdot \underbrace{x\ \mathrm{d}x}_{\frac{\mathrm{d}u}{-2}}}
Substitúcia je vtedy dobrá, ak po jej zavedení sa vo výraze nevyskytuje premenná x.

\int{e^u\ \frac{\mathrm{d}u}{-2}}=-\frac{1}{2}\cdot \int{e^u\ \mathrm{d}u}= -\frac{1}{2}\cdot e^u+C=-\frac{1}{2}\cdot e^{-x^2}+C

Neurčitý integrál - Príklad 2

Neurčitý integrál 


Príklad 2  

Vypočítajte neurčitý integrál
\int{\tan^2 x\, \mathrm{d}x}

Riešenie

Keďže  \displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} a platí vzťah 1=\sin^2 x+\cos^2 x, daný integrál môžeme vypočítať nasledovne:

\int{\tan^2 x\, \mathrm{d}x}=\int{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x}=\int{\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x}=\int{\left(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}\right)\ \mathrm{d}x}=

\int{\frac{1}{\cos^2 x}\, \mathrm{d}x}-\int{1\, \mathrm{d}x}=\tan x-x+C


Neurčitý integrál - Príklad 1

Neurčitý integrál

Príklad 1 Vypočítajte neurčitý integrál

\int{\left(3x-\sqrt{x}+4\cos{x}-2e^x\right)\, \mathrm{d}x}

Riešenie

Na výpočet tohto integrálu použijeme všeobecné pravidlá integrovania.
\int{\left(3x-\sqrt{x}+4\cos{x}-2e^x\right)\, \mathrm{d}x}=\int{3x\, \mathrm{d}x}-\int{x^{\frac{1}{2}}\, \mathrm{d}x}+\int{4\cos{x}\, \mathrm{d}x}- \int{2e^x\, \mathrm{d}x}
=3\int{x\, \mathrm{d}x}-\int{x^{\frac{1}{2}}\, \mathrm{d}x}+4\int{\cos{x}\, \mathrm{d}x}-2\int{e^x\, \mathrm{d}x}=
3\frac{x^2}{2}-\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+4\sin{x}-2e^x+C =\frac{3}{2}x^2-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+4\sin{x}-2e^x+C


sobota 8. decembra 2012

Rozbor úloh

Rozbor úloh



1. Riešte sústavu lineárnych algebrických rovníc a urobte skúšku správnosti.
\begin{array}{ccc}  2x_1-x_2-x_3&=&4\\  3x_1+4x_2-2x_3&=&11\\  3x_1-2x_2+4x_3&=&11\\ \end{array} (Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Sústava lineárnych algebrických rovníc - Príklad 4.)

2.Zistite, či vektory \vec{a}=(1;2;3), \vec{b}=(2;-1;1), \vec{c}=(1;7;8) sú lineárne závislé alebo nezávislé. (Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov - Príklad 2.)

3. Vypočítajte determinant
\left| \begin{array}{cccc} 1 & 1& 1&1\\ 1 & 2& 3&4\\ 1 & 3& 6&10\\ 1 & 4& 10&20\\ \end{array} \right| (Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Determinanty - Príklad 6.)

4.  Nájdite všetky matice X spĺňajúce danú maticovú rovnicu
X\cdot A= B\cdot C^{\mathrm{T}}\ ,\text{ ak}
A= \left(\begin{array}{rr} -2 & 1  \\ -7 &3 \end{array}\right), B= \left(\begin{array}{rrr} -1& 3 &-4 \\ 1& 2 & 0 \end{array}\right), C= \left(\begin{array}{rrr} 0& -2 &-3 \\ 4& 3 & -1 \end{array}\right)
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Maticová rovnica - Príklad 1.)

5. Určte definičný obor nasledujúcej funkcie.
f: y= \sqrt{4-x^2}+\frac{1}{x-1}
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Definičný obor funkcie - Príklad 6.)

6. Vypočítajte limitu \lim_{x\rightarrow -1} \frac{x^2-x-2}{x+1}.
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Limita funkcie - Príklad 1.)

7. Nájdite prvých p䝻 členov a znázornite graf postupnosti a_n, ktorej n-tý člen je daný vzorcom:
a_n=3+\frac{1}{n}
Určte limitu tejto postupnosti.
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Postupnosti - Príklad 1.)

8. Nájdite rovnicu dotyčnice v bode T=[1;y_0] ku krivke
y=3x(2-x).
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Geometrický význam derivácie funkcie - Príklad 1.)

9. Vypočítajte deriváciu funkcie a výsledok upravte.
g(x)=\frac{\ln{x}}{x}+ e^x(\sin x+ \cos x)
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Derivácia funkcie - Príklad 10.)

10. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v danom intervale.
g(x)=x^2\cdot e^{-x},\, x\in\left\langle -1,1\right\rangle
(Riešenie úlohy je možné nájsť v kapitole: Najväčšia a najmenšia hodnota spojitej funkcie v uzavretom intervale - Príklad 1.)