Najväčšia a najmenšia hodnota spojitej funkcie v uzavretom intervale
Príklad 1
Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v danom intervale.
f(x)=x^2e^{-x}, x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle
Riešenie
Spojitá funkcia môže nadobúdať najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v uzavretom intervale v bodoch:- v ktorých existujú lokálne extrémy funkcie,
- kde neexistuje prvá derivácia funkcie,
- a v hraničných bodoch intervalu.
Postup pri hľadaní lokálnych extrémov funkcie:
- Určiť definičný obor funkcie,
- vypočítať prvú deriváciu a položiť ju rovnú nule (nájsť kandidátov na lokálne extrémy funkcie teda stacionárne body),
- vypočítať druhú deriváciu funkcie a určiť znamienko druhej derivácie v stacionárnych bodoch funkcie.
Teda nie je potrebné určiť definičný obor funkcie.
x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle
2. Vypočítame prvú deriváciu funkcie a položíme ju rovnú nule:
f(x)=x^2e^{-x}
f^{\prime}(x)=({x^2})^{\prime}e^{-x}+x^2({e^{-x}})^{\prime}
f^{\prime}(x)=2xe^{-x}+x^2e^{-x}(-1)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}(2x-x^2)
f^{\prime}(x)=0
e^{-x}(2x-x^2)=0
e^{-x}=0 alebo (2x-x^2)=0
Neexistuje také x, funkcia e^{-x} je rovná nule.
Graf funkcie:
Súčin dvoch funkcií e^{-x}(2x-x^2) je rovný nule, ak 2x-x^2=0.
Tento súčin je rovný nule, ak x=0 alebo x=2.
Keďže 2\notin\left\langle-1, 1 \right\rangle, zistíme či v bode [0;f(0)] je lokálny extrém funkcie f.
3. Vypočítame druhú deriváciu funkcie a určíme znamienko druhej derivácie v stacionárnych bodoch funkcie pomocou vety:
Ak f^{\prime \prime}(x)>0, tak v bode [x;f(x)] je lokálne minimum.
Ak f^{\prime \prime}(x)<0, tak v bode [x;f(x)] je lokálne maximum.
f^{\prime}(x)=e^{-x}(2x-x^2)
f^{\prime \prime}(x)=(e^{-x})^{\prime}(2x-x^2)+e^{-x}(2x-x^2)^{\prime}
f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}(-1)(2x-x^2)+e^{-x}(2-2x)
f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}(-2x+x^2+2-2x)=e^{-x}(x^2-4x+2)
f^{\prime \prime}(0)=e^{-0}(0^2-4\cdot0+2)=1 \cdot 2=2>0
V bode [0;0] je lokálne minimum.
V závere už len zistíme funkčné hodnoty v hraničných bodoch intervalu, keďže derivácia funkcie existuje na celom \mathrm{R}.
f(x)=x^2e^{-x}
f(-1)=(-1)^2e^{-(-1)}=e
f(1)=1^2e^{-1}=\frac{1}{e}
Najväčšia hodnota funkcie f(x) na intervale x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle je v bode [-1;e].
Najmenšia hodnota funkcie f(x) na intervale x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle je v bode [0;0].