Určitý integrál - Príklad 5

Určitý integrál

Geometrická aplikácia určitého integrálu

Nech funkcie $f(x)$ a $g(x)$ sú spojité na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a platí $g(x)\leq f(x)$. Plošný obsah $S$ množiny bodov v rovine, ktoré spájajú nerovnosti $$a\leq x\leq b\ \text{ a }\ g(x)\leq y \leq f(x)$$ (t.j. množina bodov  medzi funkciami $g(x)$ a $f(x)$) je daný vzťahom

 $$\displaystyle S=\int\limits_{a}^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ dx}$$

Príklad 5

Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkami:
$$
y=6x-x^2,  y=0
$$

Riešenie:

Časť roviny ohraničená krivkou $y=6x-x^2$ a krivkou $y=0$ je znázornená na nasledujúcom obrázku:

Priamka $y=0$ pretne parabolu $y=6x-x^2$ v dvoch bodoch: v bode $[0;0]$ a v bode $[6;0]$.

Použijeme vzťah na výpočet obsahu časti roviny ohraničenej krivkami:
$$
 S=\int\limits_{a}^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ dx}
$$
$$
 S=\int\limits_0^6{\left(6x-x^2-0\right)\ dx}= \left[\frac{6x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^6= \frac{216}{2}-\frac{216}{3}=\frac{216}{6}=36.
$$

Derivácia funkcie

Úloha 34. Vypočítajte deriváciu funkcie $$f(x)=-2\arctan{\sqrt{\frac{3-x}{x-1}}}.$$

Riešenie:
$$f^{\prime}(x)= -2\frac{1}{1+\left(\frac{3-x}{x-1}\right)}\cdot \frac{1}{2}\left(\frac{3-x}{x-1}\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{1-x+x-3}{(x-1)^2}=$$
$$-\frac{2(x-1)}{x-1+3-x}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-1}{3-x}}\cdot\frac{-2}{(x-1)^2}=
-\frac{2(x-1)}{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-1}{3-x}}\cdot\frac{-2}{(x-1)^2}=$$
$$ \sqrt{\frac{x-1}{3-x}}\cdot\frac{1}{x-1}= \sqrt{\frac{1}{(3-x)(x-1)}}.$$

Úloha 35. Vypočítajte deriváciu funkcie $$g(x)=\ln\left(e^x+\sqrt{e^{2x}-1}\right)+\arctan(e^{2x}-1).$$

Riešenie:
$$g^{\prime}(x)=\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \left(e^x+\frac{2e^{2x}}{2\sqrt{e^{2x}-1}}\right)+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}=$$
$$\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \left(e^x+\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-1}}\right)+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}=$$

$$\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \left(\frac{e^x\sqrt{e^{2x}-1}}{\sqrt{e^{2x}-1}}+\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-1}}\right)+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}=$$
$$\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \frac{e^x\sqrt{e^{2x}-1}+e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-1}}+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}=$$
$$\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \frac{e^x(\sqrt{e^{2x}-1}+e^x)}{\sqrt{e^{2x}-1}}+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}= \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}-1}}+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}.$$