Určitý integrál
Geometrická aplikácia určitého integrálu
Nech funkcie f(x) a g(x) sú spojité na intervale \left\langle a,b\right\rangle a platí g(x)\leq f(x). Plošný obsah S množiny bodov v rovine, ktoré spájajú nerovnosti a\leq x\leq b\ \text{ a }\ g(x)\leq y \leq f(x) (t.j. množina bodov medzi funkciami g(x) a f(x)) je daný vzťahom
\displaystyle S=\int\limits_{a}^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ dx}
Príklad 5
Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkami:y=6x-x^2, y=0
Riešenie:
Časť roviny ohraničená krivkou y=6x-x^2 a krivkou y=0 je znázornená na nasledujúcom obrázku:Priamka y=0 pretne parabolu y=6x-x^2 v dvoch bodoch: v bode [0;0] a v bode [6;0].
Použijeme vzťah na výpočet obsahu časti roviny ohraničenej krivkami:
S=\int\limits_{a}^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ dx}
S=\int\limits_0^6{\left(6x-x^2-0\right)\ dx}= \left[\frac{6x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^6= \frac{216}{2}-\frac{216}{3}=\frac{216}{6}=36.