Limity typu "e"
Veta Ak pre postupnost ${a_n}_{n=1}^{\infty}$ platí $\lim_{n\to \infty} \left|a_{n}\right|=\infty$ a mocnina $\left(1+\frac{1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}$ je definovaná pre $\forall n\in N$, potom platí:$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}=e.$$
Túto vetu využívame pri riešení limít s neurčitosťou typu $1^{\infty}.$
Príklad 1
Vypočítajte nasledujúce limity:
- $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{3n}\right)^{n}$
- $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{2n}\right)^{n}$
- $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n}{3n+2}\right)^{n}$
Riešenie
- Limita $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{3n}\right)^{n}$ je limita typu $1^{\infty}$, čo si môžeme overiť po dosadení, takúto neurčitosť nevieme priamo vypočítať a preto využijeme vyššie uvedený vzťah. Aby sme tento vzťah mohli použiť musíme limitu upraviť do požadovaného tvaru. Najprv rozdelíme čitateľa na dva samostatné zlomky.
$$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{3n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n}{3n}+\frac{2}{3n}\right)^{n}$$
Následne prvý zlomok vydelíme a dostávame chýbajúcu 1, druhý zlomok predelíme 2, aby sme dostali v menovateli 1.
$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2}{3n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{n}$$.
Na to aby sme mohli využiť vyššie spomínanú vetu potrebujeme mať v mocnine $\frac{3n}{2}$, preto rozšírime mocninu číslom $\frac{3}{2}$, t.j. násobíme $\frac{3}{2}$ čitateľa aj menovateľa mocniny, keďže pre zlomky platí vzťah $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$, môžeme mocninu rozšíriť $\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}$.
$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{\frac{3n}{2}\cdot \frac{2}{3}}$$.
Po úprave dostávame:
$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{\frac{3n}{2}\cdot \frac{2}{3}}=\left[\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{\frac{3n}{2}}\right]^{\frac{2}{3}}$$.
Po aplikovaní vyššie spomínanej vety teda máme:
$$\left[\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{3n}{2}}\right)^{\frac{3n}{2}}\right]^{\frac{2}{3}}=e^{\lim_{n\to \infty}\frac{2}{3}}=e^{\frac{2}{3}}$$
- Limita $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{2n}\right)^{n}$ je taktiež limitou typu $1^{\infty}$, teda postupujeme obdobne ako v predchádzajúcom príklade. No využijeme iný typ úpravy, aby sme osamostatnili jednotku, pripočítame aj odpočítame ju k postupnosti.
$$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{2n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2n+2}{2n}-1\right)^{n}$$
Keďže druhú jednotku nepotrebujeme, dáme zlomok aj -1 na spoločného menovateľa a upravíme zlomok na požadovaný tvar.
$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2n+2}{2n}-1\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2n+2}{2n}-\frac{2n}{2n}\right)^{n}=$$ $$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2}{2n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\frac{2n}{2}}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$$
Následne využijeme vetu a dostávame:
$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e$$ - Posledná limita $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n}{3n+2}\right)^{n}$ je typu $1^{\infty}$. Na tejto limite si ukážeme tretí spôsob úpravy, aby sme dostali požadovaný tvar, a to tak že čitateľ zlomku rozšírime pričítaním a odčítaním výrazu v menovateli, následne zlomok rozložíme na dva zlomky tak, aby sme dostali 1. Následné úpravy sú totožné ako v prvom príklade.
$$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n}{3n+2}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+(3n+2)-(3n+2)}{3n+2}\right)^{n}=$$ $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{3n+2}+\frac{3n-(3n+2)}{3n+2}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{3n-3n-2}{3n+2}\right)^{n}=$$ $$\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{2}{3n+2}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{\frac{3n+2}{2}}\right)^{n\cdot\frac{3n+2}{2}\cdot\frac{2}{3n+2}}= \left[\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{\frac{3n+2}{2}}\right)^{\frac{3n+2}{2}}\right]^{n\cdot\frac{2}{3n+2}}=$$ $$\left[\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{\frac{3n+2}{2}}\right)^{\frac{3n+2}{2}}\right]^{\frac{2n}{3n+2}}=e^{- \lim_{n\to \infty}\frac{2n}{3n+2}}=e^{- \lim_{n\to \infty}\frac{2}{3+\frac{2}{n}}}=e^{-\frac{2}{3}}$$
Limity typu $k^{\infty}$
Ďalším typom limít, sú limity typu $k^{\infty}$, pri týchto limitách môžeme využiť známe vzťahy:
$$\lim_{n\to \infty} k^n=+\infty, \text{ kde } k>1$$
$$\lim_{n\to \infty} k^n=0, \text{ kde } k<1$$
Príklad 2
Vypočítajte nasledujúce limity:
- $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{2n}\right)^{n}$
- $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{3n}\right)^{n}$
Riešenie
- Limita $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{2n}\right)^{n}$ ,
ako aj nasledujúca limita zvádza použiť vzťah/vetu, ktorú sme doteraz
používali no nie je to limita typu $1^{\infty}$, ale ide o limitu typu $k^{\infty}$, kde $k\neq 1$.
Limity daného typu riešime rozšírením zlomku najväčšou mocninou $n$ v menovateli teda dostávame
$$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3n+2}{2n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{3+\frac{2}{n}}{2}\right)^{n}=\left(\frac{3}{2}\right)^{\infty}=\infty$$
POZNÁMKA: Ak by sme limitu riešili pomocou úpravy na "e" tvar, síce dostaneme v tomto prípade rovnaký výsledok ale postup je nesprávny, teda príklad je zle vyriešený!! - Limitu $\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{3n}\right)^{n}$ riešime rovnako ako v predchádzajúcom príklade a teda:
$$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n+2}{3n}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2+\frac{2}{n}}{3}\right)^{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{\infty}=0$$
