Vektory - Príklad 1a)

Vektory

Príklad 1a)

Pre aké hodnoty parametra $ p\in\mathbb{R}$ je vektor $\mathbf{d}$ lineárnou kombináciou vektorov $ \mathbf{a}$, $ \mathbf{b}$, $ \mathbf{c}$, ak $\mathbf{a}=(1;2;3)$, $ \mathbf{b}=(2;-1;1)$, $ \mathbf{c}=(1;7;8)$, $ \mathbf{d}=(4;3;p)$

Riešenie:

Vektor $ \mathbf{d}$ je lineárnou kombináciou vektorov $ \mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $ \mathbf{c}$ práve vtedy, ak existujú koeficienty $k_1,k_2,k_3$ spĺňajúce rovnosť:
$$
k_1\cdot \mathbf{a} +k_2\cdot \mathbf{b} +k_3\cdot \mathbf{c} =\mathbf{d}
$$
$$
k_1\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\3 \end{array}\right)+
k_2\cdot \left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\1 \end{array}\right)+
k_3\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 7\\8 \end{array}\right)=
 \left( \begin{array}{r} 4\\ 3\\p \end{array}\right)
$$
$$
\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_1\\ 2\cdot k_1\\3\cdot k_1 \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{r} 2\cdot k_2\\ -1\cdot k_2\\1\cdot k_2 \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{r} 1\cdot k_3\\ 7\cdot k_3\\8\cdot k_3 \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{r} 4\\ 3\\p \end{array}\right)
$$
$$
\left( \begin{array}{r}
1\cdot k_1 + 2\cdot k_2 + 1\cdot k_3\\
2\cdot k_1 -1\cdot k_2 + 7\cdot k_3\\
3\cdot k_1 +1\cdot k_2 + 8\cdot k_3 \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{r} 4\\ 3\\p \end{array}\right)
$$
Túto rovnosť dvoch vektorov prepíšeme do sústavy lineárnych algebrických rovníc o troch neznámych:
$$\begin{eqnarray}
  k_1 + 2k_2 + k_3&=&4\\
  2 k_1 -k_2 + 7k_3&=&3\\
  3k_1 + k_2 + 8k_3&=&p\\
\end{eqnarray}$$

Vektor $\mathbf{d}$ je lineárnou kombináciou vektorov $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ práve vtedy, ak táto sústava troch rovníc s neznámymi $k_1,k_2,k_3$ má riešenie.
$$
\left( \begin{array}{rrr|r}
 1& 2 & 1&4\\
 2& -1 & 7&3\\
 3& 1 & 8&p\\
 \end{array}\right)
 \sim
 \left( \begin{array}{rrr|l}
 1& 2 & 1&\phantom{-}4\\
 0& -5 & 5&-5\\
 0& -5 & 5&p-12\\
 \end{array}\right)
  \sim
 \left( \begin{array}{rrr|l}
 1& 2 & 1&\phantom{-}4\\
 0& -5 & 5&-5\\
 0& 0 & 0&p-7\\
 \end{array}\right)
 $$

Sústava lineárnych rovníc má riešenie iba v prípade, že $p-7 =0$. Teda, ak $p=7$.

Vektor $\mathbf{d}$ je lineárnou kombináciou vektorov $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ len vtedy, ak  $p=7$.

Najväčšia a najmenšia hodnota spojitej funkcie v uzavretom intervale - Príklad 1

Najväčšia a najmenšia hodnota spojitej funkcie v uzavretom intervale

Príklad 1

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v danom intervale.
$$f(x)=x^2e^{-x}, x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle$$

Riešenie

Spojitá funkcia môže nadobúdať najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v uzavretom intervale v bodoch:

• v ktorých existujú lokálne extrémy funkcie,
• kde neexistuje prvá derivácia funkcie,
• a v hraničných bodoch intervalu.

Najprv nájdeme lokálne extrémy funkcie $f$.
Postup pri hľadaní lokálnych extrémov funkcie:

1. Určiť definičný obor funkcie,
2. vypočítať prvú deriváciu a položiť ju rovnú nule (nájsť kandidátov na lokálne extrémy funkcie teda stacionárne body),
3. vypočítať druhú deriváciu funkcie a určiť znamienko druhej derivácie v stacionárnych bodoch funkcie.

1. V zadaní úlohy je špecifikovaný interval, na ktorom vyšetrujeme maximum a minimum funkcie.
Teda nie je potrebné určiť definičný obor funkcie.
$$x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle$$

2. Vypočítame prvú deriváciu funkcie a položíme ju rovnú nule:
$$f(x)=x^2e^{-x}$$
$$f^{\prime}(x)=({x^2})^{\prime}e^{-x}+x^2({e^{-x}})^{\prime}$$
$$f^{\prime}(x)=2xe^{-x}+x^2e^{-x}(-1)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}(2x-x^2)$$
$$f^{\prime}(x)=0$$
$$e^{-x}(2x-x^2)=0$$
$e^{-x}=0$ alebo $(2x-x^2)=0$
Neexistuje také $x$,  funkcia  $e^{-x}$ je rovná nule.

Graf funkcie:

Súčin dvoch funkcií $e^{-x}(2x-x^2)$ je rovný nule, ak $2x-x^2=0$.
Tento súčin je rovný nule, ak $x=0$ alebo $x=2$.
Keďže $2\notin\left\langle-1, 1 \right\rangle$,  zistíme či v bode $[0;f(0)]$ je lokálny extrém funkcie $f$.

3. Vypočítame druhú deriváciu funkcie a určíme znamienko druhej derivácie v stacionárnych bodoch funkcie pomocou vety:
Ak $f^{\prime \prime}(x)>0$, tak v bode $[x;f(x)]$ je lokálne minimum.
Ak $f^{\prime \prime}(x)<0$, tak v bode $[x;f(x)]$ je lokálne maximum.
$$f^{\prime}(x)=e^{-x}(2x-x^2)$$
$$f^{\prime \prime}(x)=(e^{-x})^{\prime}(2x-x^2)+e^{-x}(2x-x^2)^{\prime}$$
$$f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}(-1)(2x-x^2)+e^{-x}(2-2x)$$
$$f^{\prime \prime}(x)=e^{-x}(-2x+x^2+2-2x)=e^{-x}(x^2-4x+2)$$
$$f^{\prime \prime}(0)=e^{-0}(0^2-4\cdot0+2)=1 \cdot 2=2>0$$
V bode $[0;0]$ je lokálne minimum.

V závere už len zistíme funkčné hodnoty v hraničných bodoch intervalu, keďže derivácia funkcie existuje na celom $\mathrm{R}$.
$$f(x)=x^2e^{-x}$$
$$f(-1)=(-1)^2e^{-(-1)}=e$$
$$f(1)=1^2e^{-1}=\frac{1}{e}$$

Najväčšia hodnota funkcie $f(x)$ na intervale  $x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle$ je v bode $[-1;e]$.
Najmenšia hodnota funkcie $f(x)$ na intervale $x\in\left\langle-1, 1 \right\rangle$ je v bode $[0;0]$.