Matice, základné operácie s maticami - Príklad 5

Matice, základné operácie s maticami

 

Príklad 5

Vypočítajte súčet matíc $A$ a $B$, ak $$\mathbf{A}=\left(
\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 3 \\
-1 & 1 & 4
\end{array}
\right), \mathbf{B}=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0 \\
1 & -2 & -3
\end{array}
\right)$$

Riešenie:

Najprv skontrolujeme, či sú matice rovnakého typu a následne matice sčítame:
$$\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{A}=\left(
\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 3 \\
-1 & 1 & 4
\end{array}
\right)+\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0 \\
1 & -2 & -3
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{rrr}
3 & 1 & 3 \\
0 & -1 & 1
\end{array}
\right)$$

Matice, základné operácie s maticami - Príklad 4

Matice, základné operácie s maticami

Príklad 4

Vypočítajte súčin matíc $A\cdot B$ a $B\cdot A$, ak existuje:
$$
A=\left( \begin{array}{rrr}
1 & 3 & 4 \\
-2 & 3 & 1\\
4 & 1 & 2
\end{array} \right),
B=\left( \begin{array}{r}
1\\
-1\\
0
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Súčin $A\cdot B$ existuje, keďže matica A má rovnaký počet stĺpcov (t.j. 3) ako má matica B riadkov (taktiež 3) a výsledná matica bude mať rozmer $3\times 1$.

Nech matica $C$ vznikne zo súčinu matíc $A\cdot B$
$$
C=A\cdot B =
\underbrace{\left( \begin{array}{rrr}
1 & 3 & 4\\
-2 & 3 & 1\\
4 & 1 & 2
\end{array} \right)}_{\text{matica}\, 3\times 3}\cdot
\underbrace{\left( \begin{array}{r}
1\\
-1\\
0
\end{array} \right)}_{\text{matica}\, 3\times 1}=
\left( \begin{array}{r}
c_{1,1}\\
c_{2,1}\\
c_{3,1}
\end{array} \right)$$
Prvok $c_{1,1}$ vo výslednej matici vznikne skalárnym súčinom prvého riadku matice $A$ a prvého stĺpca matice $B$. Teda $c_{1,1} = (1;3;4)\cdot(1;-1;0)$. Podobne $c_{2,1}= (-2;3;1)\cdot(1;-1;0) $, kde vektor $(-2;3;1)$ je druhý riadok matice $A$ a $c_{3,1}= (4;1;2)\cdot(1;-1;0) $.
$$
\left( \begin{array}{r}
c_{1,1}\\
c_{2,1}\\
c_{3,1}
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{r}
1\cdot 1 + 3\cdot (-1) + 4\cdot 0\\
-2\cdot 1 + 3\cdot(-1) + 1\cdot 0\\
4\cdot 1 + 1\cdot (-1) + 2\cdot 0
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{r}
1-3-0\\
-2-3+0\\
4 -1+ 0
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{r}
-2\\
-5\\
3
\end{array} \right)
$$

Súčin matíc $B\cdot A $ nie je definovaný, keďže počet stĺpcov matice $B$ (t.j. 1) je rozdielny od počtu riadkov matice $A$ (t.j. 3).

Matice, základné operácie s maticami - Príklad 3

Matice, základné operácie s maticami

Príklad 3

Vypočítajte súčin matíc $A\cdot B$:
$$
A=
\left( \begin{array}{rr}
3 & 2 \\
5 &1
\end{array} \right),
B=
\left( \begin{array}{rr}
1 &-2\\
2 & 3
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Nech matica $C$ vznikne zo súčinu matíc $A\cdot B$
$$
\left( \begin{array}{rr}
3 & 2\\
5 & 1
\end{array} \right)
\cdot
\left(\begin{array}{rr}
1 & -2\\
2 & 3
\end{array} \right)=
\left(\begin{array}{rr}
c_{1,1} & c_{1,2}\\
c_{2,1} &c_{2,2}
\end{array} \right)
$$
Prvok $c_{1,1}$ vznikne ako výsledok skalárneho súčinu vektora $(3,2)\cdot(1,2)$, kde vektor $(3,2)$ je riadkový vektor matice $A$ a vektor $(1, 2)$ je stĺpcový vektor matice $B$.
Prvok $c_{1,2} =(3, 2)\cdot(-2, 3)$, $c_{2,1} =(5,1)\cdot(1,2)$, $c_{2,2} =(5,1)\cdot(-2,3)$.

$$
\left(\begin{array}{rr}
c_{1,1} & c_{1,2}\\
c_{2,1} &c_{2,2}
\end{array} \right)=\left(\begin{array}{rr}
3\cdot 1 + 2\cdot 2 & 3\cdot(-2) + 2\cdot 3\\
5\cdot 1 + 1\cdot 2 & 5\cdot(-2) + 1\cdot 3
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rr}
7 & 0\\
7 &-7
\end{array} \right)
$$

V nasledujúcich riadkoch je zachytená vizualizácia riešenia. Táto vizualizácia je ovládané iba šípkami vľavo a vpravo. VŠö prehliadaŤ nepodporuje Canvas...

Maticová rovnica - Príklad 1

Maticová rovnica

Príklad 1

Nájdite všetky matice $X$ spĺňajúce danú maticovú rovnicu
$$ X\cdot A=B\cdot C^T,$$
ak $A=\left( \begin{array}{rr} -2 & 1  \\ -7 &3 \end{array} \right)$, $B=\left( \begin{array}{rrr} -1 & 3&-4  \\ 1 &2 &0\end{array} \right)$, $C=\left( \begin{array}{rrr} 0 & -2&-3  \\ 4 &3&-1 \end{array} \right)$

Riešenie

$$ X\cdot A=B\cdot C^T$$

Najprv vypočítame pravú stranu danej maticovej rovnice.
Matica $B$ je typu $2\times 3$. Matica $C$ je typu $2\times 3$. Transponovaná matica k matici $C$ je typu $3\times 2$.
$$C^T= \left( \begin{array}{rrr} 0 & -2&-3  \\ 4 &3&-1 \end{array} \right)^T=\left( \begin{array}{rr} 0 & 4  \\ -2 &3\\ -3&-1 \end{array}\right)$$
Výsledkom násobenia matice typu $2\times 3$ s maticou typu $3\times 2$ je matica typu $2\times 2$.

$B\cdot C^T=\left( \begin{array}{rrr} -1 & 3&-4  \\ 1 &2 &0\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{rr} 0 & 4  \\ -2 &3\\ -3&-1 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)$

$$ X\cdot A=B\cdot C^T$$
Z rovnice vyjadríme $X$. Pozor: Delenie matíc nie je definovaná operácia.
Využijeme násobenie inverznou maticou k matic $A$.
$$ X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot C^T\cdot A^{-1}$$
$$ X\cdot I=B\cdot C^T\cdot A^{-1}$$ 
$$ X=B\cdot C^T\cdot A^{-1}$$

Matica $ A^{-1}$ je inverzná matica k matici $A$.

Inverznú maticu k matici $A$ vypočítame pomocou:

• pridruženej (adjungovanej) matice,
• blokovej matice.

Zvolíme si postup výpočtu inverznej matice pomocou pridruženej (adjungovanej) matice.
$$
A^*=\left( \begin{array}{rr}
A_{11} & A_{21} \\
A_{12} &A_{22}\\
 \end{array} \right)
$$
s využitím vzťahu:
$$
A^{-1}=\frac{1}{\det{(A)}}A^*
$$
Vypočítame determinant matice $A$ a všetky algebrické doplnky:
$$
\det{(A)}=
\left| \begin{array}{rrr}
-2 & 1 \\
-7 & 3\\
\end{array} \right|=1
$$
$A_{ij}=(-1)^{i+j}\det{M_{ij}}$, kde $\det{M_{ij}}$ je determinant matice $M_{ij}$, ktorá vznikne z matica $A$ vynechaním $i$-teho riadku a $j$-teho stĺpca.
Algebrický doplnok $A_{11}$ vznikne z matice $A$ vynechaním prvého riadku a prvého stĺpca.
$$
A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot 3 = 3
$$
ďalšie algebrické doplnky:
$$
A_{12}=(-1)^{1+3}\cdot (-7) = 7
$$
$$
A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot 1 = -1
$$
$$
A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot (-2) = -2
$$
Dosadením do vzťahu:
$$ A^{-1}=\frac{1}{\det{(A)}}A^* $$
dostávame inverznú maticu k matici $A$
$$ A^{-1}=\left( \begin{array}{rr} 3 & -1 \\ 7 &-2 \end{array} \right)$$
Maticu $X$ vypočítame pomocou "obyčajného" násobenie matíc:
$$ X=B\cdot C^T\cdot A^{-1}$$ 
$$ X=\left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{rr} 3 & -1  \\ 7 &-2 \end{array} \right)$$
$$ X=\left( \begin{array}{rr}81 &-24  \\58 &-16\end{array} \right) $$.

Iný spôsob výpočtu matice $X$ bez vyučitia inverznej matice:
$$ X\cdot A=B\cdot C^T$$
kde
$$ X\cdot \left( \begin{array}{rr} -2 & 1  \\ -7 &3\end{array} \right)=  \left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)$$
Matica $X$ je typu  $2\times 2$. Všeobecne ju môžeme zapísať
$$ X=\left( \begin{array}{rr} x_1 & x_2  \\ x_3 &x_4\end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{rr} x_1 & x_2  \\ x_3 &x_4\end{array} \right)\cdot
\left( \begin{array}{rr} -2 & 1  \\ -7 &3\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)$$
Vynásobíme matice na ľavej strane rovnice
$$\left( \begin{array}{rr}-2 x_1-7 x_2 & x_1+3 x_2  \\ -2x_3-7 x_4 & x_3+3x_4\end{array} \right)=  \left( \begin{array}{rr} 6 & 9  \\ -4 &10\end{array} \right)$$
Dve matice rovnakého typu sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú čísla na rovnakých pozíciách. T.j.
$$-2 x_1-7 x_2=6$$
$$ x_1+3 x_2=9$$
$$-2x_3-7 x_4 =-4$$
$$x_3+3x_4=10 $$
Výsledkom porovnania dvoch matíc sú dve sústavy lineárnych algebrických rovníc s dvoma neznámymi.
$$
\begin{array}{rr}
-2 x_1-7 x_2&=&6\\
x_1+3 x_2&=&9\\
\end{array}
$$
Riešením tejto sústavy lineárnych algebrických rovníc s dvoma neznámymi je usporiadaná dvojica $[x_1;x_2]=[81;-24]$.
$$
\begin{array}{rr}
-2x_3-7 x_4 &=&-4\\
x_3+3x_4&=&10\\
\end{array}
$$
Riešením tejto sústavy lineárnych algebrických rovníc s dvoma neznámymi je usporiadaná dvojica $[x_3;x_4]=[58;-16]$.

Matica $$ X= \left( \begin{array}{rr} x_1 & x_2  \\ x_3 &x_4\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rr}81 &-24  \\58 &-16\end{array} \right) $$.
je riešením maticovej rovnice $ X\cdot A=B\cdot C^T$.

Inverzná matica - Príklad 3

Inverzná matica

Príklad 3

Nájdite inverznú maticu k matici $C$, ak existuje.
$$
C=
\left( \begin{array}{rrr}
2 & 2 &3\\
1 &-1&0\\
-1 &4&1
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Najprv zistíme, či k danej matici existuje inverzná matica, t.j. či $\det{C} \neq0$.
Ak je $\det{C} \neq0$, tak k matici $C$ existuje inverzná (označujeme $C^{-1}$).
$$
\det{C}=
\left|\begin{array}{rrrr}
2 & 2 &3\\
1 &-1&0\\
-1 &4&1
\end{array} \right|=5\neq0
$$
Teda existuje inverzná matica  $C^{-1}$. Budeme ju hľadať pomocou blokovej matice s využitím ekvivalentných riadkových úprav (tieto úpravy sú zadefinované v kapitole: Matice, hodnosť matíc - Príklad 6.)

Vynásobíme prvý riadok matice konštantou $\frac{1}{2}$ (E2).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
2 & 2 &3&1&0&0\\
1 &-1&0&0&1&0\\
-1 &4&1 &0&0&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\cdot\frac{1}{2} \\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
 \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
1 &-1&0&0&1&0\\
-1 &4&1 &0&0&1
\end{array} \right)
$$
Následne od druhého riadku odpočítame prvý riadok matice a k tretiemu riadku matice pripočítame prvý riadok (E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
1 &-1&0&0&1&0\\
-1 &4&1 &0&0&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
-R1\\
+R1\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &-2&-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&1&0\\
0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1
\end{array} \right)
$$
Potom druhý riadok matice vynásobíme konštantou $\frac{-1}{2}$ (E2).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &-2&-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&1&0\\
0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \\
 \cdot\frac{-1}{2}\\
 \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1
\end{array} \right)
$$
K tretiemu riadku matice pripočítame mínus päťnásobok druhého riadku (E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &5&\frac{5}{2} &\frac{1}{2}&0&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \phantom{\frac{3}{2}}\\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
-5R2\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &0&-\frac{5}{4} &-\frac{3}{4}&\frac{5}{2}&1
\end{array} \right)
$$
Tretí riadok matice vynásobíme konštantou $\frac{-4}{5}$ (E2).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &0&-\frac{5}{4} &-\frac{3}{4}&\frac{5}{2}&1
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
 \cdot\frac{-4}{5} \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
$$
Od prvého riadku matice odpočítame  $\frac{3}{2}$ tretieho riadku a od druhého $\frac{3}{4}$ riadku tri (E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\
0 &1&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}&0\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 \cdot\frac{-3}{2}R3\\
 \cdot\frac{-3}{4}R3\\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &0&-\frac{2}{5}&3&\frac{6}{5}\\
0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
$$
K prvému riadku matice pripočítame mínus jeden násobok riadku dva (E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 1 &0&-\frac{2}{5}&3&\frac{6}{5}\\
0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
 -R2\\
  \phantom{\frac{3}{2}}\\
 \phantom{\frac{3}{2}} \\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 &0&-\frac{1}{5}&2&\frac{3}{5}\\
0 &1&0&-\frac{1}{5}&1&\frac{3}{5}\\
0 &0&1&\frac{3}{5}&-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
$$
$$
C^{-1}=
\left( \begin{array}{rrr}
-\frac{1}{5} & 2 &\frac{3}{5} \\
-\frac{1}{5} &1&\frac{3}{5} \\
\frac{3}{5} &-2&-\frac{4}{5} 
\end{array} \right)
$$

Inverzná matica - Príklad 2

Inverzná matica

Existuje viacero metód na hľadanie inverznej matice. V tomto príklade ukážeme metódu, v ktorej využívame blokovú maticu.
Blokovú maticu dostaneme tak, že na ľavú stanu bloku napíšeme maticu, ku ktorej hľadáme inverznú maticu a na pravú stranu bloku jednotkovú maticu rovnakého typu ako je pôvodná matica.
Cieľom je, pomocou ekvivalentných úprav získať na ľavej strane bloku jednotkovú maticu a matica, ktorá vznikne na pravej strane tohto bloku bude inverznou maticou k pôvodnej matici.

Pri ekvivalentných úpravách pracujeme s celým riadkom tohto bloku. Používame iba riadkové úpravy!

Inverzná matica existuje k matici $A$ práve vtedy, keď matica $A$. je regulárna t.j. $\det{A}\neq0$.

Príklad 2

Nájdite inverznú maticu k matici $B$, ak existuje.
$$
B=
\left( \begin{array}{rr|rr}
4 & 0\\
9 &3\\
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

V prvom rade je potrebné zistiť, či k danej matici existuje inverzná matica. T.j. $\det{B}\neq0$. Ak je $\det{B}\neq0$, tak k matici $B$ existuje inverzná, ktorú budeme označovať $B^{-1}$.
$$
\det{B}=
\left|\begin{array}{rrrr}
4 & 0\\
9 &3\\
\end{array} \right|=12\neq0
$$
Teda existuje inverzná matica  $B^{-1}$. Budeme ju hľadať pomocou blokovej matice.
$$
\left( \begin{array}{rr|rr}
4 & 0& 1&0\\
9 &3&0&1\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\cdot\frac{1}{4} \\
\cdot\frac{1}{3} \\
\end{array}
\sim
\left(\begin{array}{rr|rr}
1 & 0& \frac{1}{4}&0\\
3 &1&0&\frac{1}{3}\\
\end{array} \right)
\begin{array}{l}
\\
\\
\\
\\
-3R1\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rr|rr}
1 & 0& \frac{1}{4}&0\\
0 &1&-\frac{3}{4}&\frac{1}{3}\\
\end{array} \right)
$$
$$
B^{-1}=\left( \begin{array}{rr}
 \frac{1}{4}&0\\
-\frac{3}{4}&\frac{1}{3}\\
\end{array} \right)
$$

Inverzná matica - Príklad 1

Inverzná matica

 

Príklad 1

Nájdite inverznú maticu k matici $A$ pomocou adjugovanej matice.

$$
A=
\left( \begin{array}{rrr}
2 & 2 &3\\
1 &-1&0\\
-1 &4&1
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Inverznú maticu hľadáme pomocou pridruženej (adjungovanej) matice:
$$
A^*=\left( \begin{array}{rrr}
A_{11} & A_{21} &A_{31} \\
A_{12} &A_{22}&A_{32} \\
A_{13} &A_{23}&A_{33} 
\end{array} \right)
$$
s využitím vzťahu:
$$
A^{-1}=\frac{1}{\det{(A)}}A^*
$$

Vypočítame determinant matice $A$ a všetky algebrické doplnky:
$$
\det{(A)}=
\left| \begin{array}{rrr}
2 & 2 &3\\
1 &-1&0\\
-1 &4&1
\end{array} \right|=5
$$

$A_{ij}=(-1)^{i+j}\det{M_{ij}}$, kde $\det{M_{ij}}$ je determinant z matice $M_{ij}$.
Matica  $M_{ij}$ je matica, ktorá vznikne z matica $A$ vynechaním $i$-teho riadku a $j$-teho stĺpca.

Algebrický doplnok $A_{11}$ vznikne z matice $A$ vynechaním prvého riadku a prvého stĺpca.
$$
A_{11}=(-1)^{1+1}
\left| \begin{array}{rrr}
-1&0\\
4&1
\end{array} \right|=-1
$$

Algebrický doplnok $A_{12}$ vznikne z matice $A$ vynechaním prvého riadku a druhého stĺpca.
$$
A_{12}=
(-1)^{1+2}\left| \begin{array}{rrr}
1 &0\\
-1 &1
\end{array} \right|=-1
$$
Podobne vypočítame algebrické doplnky prislúchajúce ostatným indexom.  
$$
A_{13}=
(-1)^{1+3}\left| \begin{array}{rrr}
1 &-1\\
-1 &4
\end{array} \right|=3
$$
$$
A_{21}=
(-1)^{2+1}\left| \begin{array}{rrr}
2 &3\\
4&1
\end{array} \right|=10
$$
$$
A_{22}=
(-1)^{2+2}\left| \begin{array}{rrr}
2&3\\
-1&1
\end{array} \right|=5
$$
$$
A_{23}=
(-1)^{2+3}\left| \begin{array}{rrr}
2 & 2 \\
-1 &4
\end{array} \right|=-10
$$
$$
A_{31}=
(-1)^{3+1}\left| \begin{array}{rrr}
2 &3\\
-1&0\\
\end{array} \right|=3
$$
$$
A_{32}=
(-1)^{3+2}\left| \begin{array}{rrr}
2 &3\\
1 &0\\
\end{array} \right|=3
$$
$$
A_{33}=
(-1)^{3+3}\left| \begin{array}{rrr}
2 & 2\\
1 &-1\\
\end{array} \right|=-4
$$
Adjungovaná matica $A^*$ má tvar
$$
A^*=\left( \begin{array}{rrr}
-1 &10 &3 \\
-1 &5&3 \\
3 &-10&-4 
\end{array} \right)
$$

Inverzná matica k matici $A$ je:
$$
A^{-1}=\frac{1}{5}\left( \begin{array}{rrr}
-1 &10 &3 \\
-1 &5&3 \\
3 &-10&-4 
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rrr}
-\frac{1}{5} &2 &\frac{3}{5} \\
-\frac{1}{5} &1&\frac{3}{5} \\
\frac{3}{5} &-2&-\frac{4}{5}
\end{array} \right)
$$

Matice, maticové mnohočleny - Príklad 9

Matice, maticové mnohočleny

Príklad 9

Vypočítajte $f(A)$, ak

$$
f(x)=x^2-5x+3,\, \text{kde}\, A=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1\\
3 &1&2\\
1 &-1&0
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Maticové mnohočleny sú také mnohočleny (polynómy), kde namiesto premennej $x$ figuruje matica.

Prepíšeme zadaný mnohočlen pomocou matice $A$.
$$
f(A)=A^2-5A^1+3A^0
$$

Zo zápisu je vidieť, že s maticou $A$ uskutočníme nasledujúce operácie:
- umocniť maticu,
- vynásobiť matice reálnym číslom,
- sčítať vzniknuté matice.

Umocniť maticu, znamená vynásobiť navzájom dve identické matice. Pri takomto násobení sa zachováva typ matice. Umocňovať je možné iba štvorcové matice.
Keďže matica $A$ je štvorcová, môžeme ju umocniť:
$$
A^2=A\cdot A=
\left(\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1\\
3 &1&2\\
1 &-1&0
\end{array} \right) \cdot
\left(\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1\\
3 &1&2\\
1&-1&0
\end{array} \right)=
\left(\begin{array}{rrr}
8 & 2 & 4\\
11 &2&5\\
-1&0&-1
\end{array} \right)
$$
Násobiť maticu $A$ číslom znamená, vynásobiť každý prvok tejto matice daným číslom.
$$
-5\cdot A=
-5\cdot \left( \begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1\\
3 &1&2\\
1&-1&0
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rrr}
-10 & -5 & -5\\
-15 &-5&-10\\
-5&5&0
\end{array} \right)
$$
Matica umocnená na nultú je jednotková matica rovnakého typu ako matica $A$.

$$
3\cdot A^0=
3\cdot \left( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0\\
0 &1&0\\
0&0&1
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rrr}
3 & 0 & 0\\
0 &3&0\\
0&0&3
\end{array} \right)
$$
Posledným krokom je samotné sčítanie matíc.
Pripomíname, že sčítavať môžeme len matice rovnakého typu (čo je v našom prípade určite splnené, keďže všetky operácie sa vykonávali len s maticou $A$). Matice sčítavame tak, že sčítame prvky na rovnakých pozíciách.
$$
f(A)=\left( \begin{array}{rrr}
8 & 2 & 4\\
11 &2&5\\
-1&0&-1
\end{array} \right)+
\left( \begin{array}{rrr}
-10&-5&-5\\
-15 &-5&-10\\
-5&5&0
\end{array} \right)+
\left(\begin{array}{rrr}
3&0&0\\
0&3&0\\
0&0&3
\end{array} \right)=
$$
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1&-3&-1\\
-4&0&-5\\
-6&5&2
\end{array} \right)
$$

Matice, hodnosť matíc - Príklad 8

Matice, hodnosť matíc

 

Príklad 8

 

Určte hodnosť matice $C$, kde $p\in \mathbb{R}$ je parameter:
$$
C=\left( \begin{array}{rrr}
3 & -2 & 1 \\
p & -14 & 15 \\
1 & 2 & -3
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Hodnosť matice $C$ je maximálne $3$. Pomocou ekvivalentných úprav (úpravy E1 až E4) upravíme maticu $C$ na trojuholníkový tvar.
$$
\left( \begin{array}{rrr}
3 & -2 & 1 \\
p & -14 & 15 \\
1 & 2 & -3
\end{array} \right)
$$
Prvou úpravou je výmena stĺpcov: tretí stĺpec zameníme za prvý (úprava E1).
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
15 & -14 & p \\
-3 & 2 & 1
\end{array} \right)
$$
Ďalšou úpravou je pripočítanie vhodného násoboku prvého riadku matice k druhému a následne tretiemu riadku tak, aby sme postupne vynulovali čísla v prvom stĺpci od druhého riadku počnúc (úprava E3).
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
15 & -14 & p \\
-3 & 2 & 1
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
-15R1\\
+3R1
\end{array}
$$
Následne tretí riadok matice vynásobíme reálnym číslom (úprava E2).
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 & -4 & 10
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
\\
\cdot 4
\end{array}
$$
Poslednou úpravou je pripočítanie druhého riadku k tretiemu riadku (úprava E3). 
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 &-16 & 40 \end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
\\
+R2
\end{array}
$$
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 & 0 & p-5
\end{array} \right)
$$
Diskusia:
Ak $p-5=0$ (a teda ak $p=5$), tak matica má tvar:
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right)
$$
Počet nenulových riadkov matice $C$ po úpravách je $2$.
Teda:
Ak $p= 5$, tak hodnosť matice $C$ je $2$ (zapisujeme $rank(C)=2$).

Ak $p-5\neq 0$ (a teda ak $p\neq 5$), tak matica má tvar:
$$
\left( \begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
0 & 16 & -45+p \\
0 & 0 & p-5
\end{array} \right)
$$
Počet nenulových riadkov matice $C$ po úpravách je $3$.
Ak $p\neq 5$, tak hodnosť matice $C$ je $3$ (zapisujeme $rank(C)=3$).

Matice, hodnosť matíc - Príklad 7

Matice, hodnosť matíc

 

Príklad 7

 

Určte hodnosť nasledujúcej matice $B$:
$$
B=\left( \begin{array}{rrrrr}
2 & -1 & 3 &-2 & 4 \\
4 & -2 & 5 & 1 & 7 \\
2 & -1 & 1 & 8 & 2
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Podobne ako v predchádzajúcom príklade, na výpočet hodnosti matice $B$ použijeme ekvivalentné úpravy.

Hodnosť matice je počet nenulových riadkov matice upravenej na trojuholníkový alebo lichobežníkový tvar.

Hodnosť matice $B$ môže byť maximálne 3, keďže matica má 3 riadky.
$$
B=\left( \begin{array}{rrrrr}
2 & -1 & 3 &-2& 4 \\
4 &-2 & 5 & 1 & 7 \\
2 &-1 &1 & 8 & 2
\end{array} \right)
$$
K druhému a tretiemu riadku pripočítame vhodný násobok prvého riadku matice tak, aby sme postupne vynulovali čísla v prvom stĺpci od druhého riadku počnúc (úprave E3). 
$$
\left( \begin{array}{rrrrr}
2 & -1 & 3 &-2 & 4 \\
4 & -2 & 5 & 1 & 7 \\
2 & -1 &1 & 8 & 2
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
-2R1\\
-1R2
\end{array}
$$
$$
\left( \begin{array}{rrrrr}
2 &-1 & 3 &-2 & 4 \\
0 & 0 & -1 & 5 &-1 \\
0 &0 & -2 & 10 & -2
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
\\
-2R2
\end{array}
$$
$$
\left( \begin{array}{rrrrr}
2 &-1 & 3 &-2 & 4 \\
0 & 0 & -1 & 5 &-1 \\
0 &0 &0 & 0 &0\\
\end{array} \right)
$$

Počet nenulových riadkov matice $B$ je $2$. Hodnosť matice $B$ je $rank(B)=2$.

Matice, hodnosť matíc - Príklad 6

Matice, hodnosť matíc

Hodnosť matice $A$ (ozn. $rank(A)$) je číslo, ktoré určuje maximálny počet lineárne nezávislých riadkov (stĺpcov) matice.

Hodnosť matice sa nezmení pri vykonaní nasledujúcich operácií:

E1: výmena poradia riadkov (stĺpcov),
E2: vynásobenie ľubovoľného riadku (stĺpca) číslom rôznym od nuly,
E3: k ľubovoľnému riadku (stĺpcu) pripočítanie lineárnej kombinácie iných riadkov (stĺpcov) matice.

Hodnosť matice vypočítame využitím ekvivalentných úprav tak, aby sme pod diagonálou (uhlopriečkou) matice dostali samé nuly.

Príklad 6

 

Určte hodnosť nasledujúcej matice $A$:
$$
A=\left( \begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 1&1 \\
1 & 3 & -2&18 \\
4 & 2 & 1&5 \\
3 & 1 & 2&-2
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

 

Hodnosť matice $A$ môže by maximálne $4$, keďže táto matica má práve štyri riadky.
Na maticu $A$ postupne aplikujme kroky $E1$ až $E3$ podľa toho, akú úpravu vykonávame.
$$
A=
\left( \begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 1&1 \\
1 & 3 & -2&18 \\
4 & 2 & 1&5 \\
3 & 1 & 2&-2
\end{array} \right)
$$
Z dôvodu, aby sme sa vyhli zlomkom je prvým krokom výmena prvých dvoch riadkov matice $A$. Dostávame maticu:
$$
\left( \begin{array}{rrrr}
1& 3 & -2&18 \\
2 & 1 & 1&1 \\
4 & 2 & 1&5 \\
3 & 1 & 2&-2
\end{array} \right)
$$
K druhému, tretiemu a napokon štvrtému riadku pripočítame vhodný násobok prvého riadku matice tak, aby sme postupne vynulovali čísla v prvom stĺpci od druhého riadku počnúc. 
$$
\left( \begin{array}{rrrr}
1& 3 & -2&18 \\
2 & 1 & 1&1 \\
4 & 2 & 1&5 \\
3 & 1 & 2&-2
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
-2R1\\
-4R1\\
-3R1
\end{array}
$$
Následne vynásobíme druhý riadok matice číslom $\frac{1}{5}$ preto, kvôli uľahčeniu ďalšieho výpočtu.
$$
\left( \begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -2&18 \\
0 & -5 & 5&-35 \\
0 & -10 & 9&-67 \\
0 & -8 & 8&-56
\end{array} \right)
\begin{array}{r}

\cdot\frac{1}{5}\\
\\
\\
\end{array}
$$
K tretiemu a štvrtému riadku pripočítame vhodný násobok druhého riadku matice tak, aby sme postupne vynulovali čísla v druhom stĺpci od tretieho riadka počnúc. 
$$
\left( \begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -2&18 \\
0 & -1 & 1&-7 \\
0 & -10 & 9&-67 \\
0 & -8 & 8&-56
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
\\
\\
-10R2\\
-8R2\\
\end{array}
$$
Takými to operáciami dostávame jeden nulový riadok.
$$
\left( \begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -2&18 \\
0 & -1 & 1&-7 \\
0 & 0 & -1&3 \\
0 & 0 & 0&0
\end{array} \right)
$$
Nulový riadok môžeme z matice vynechať a dostávame maticu:
$$
\left( \begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -2&18 \\
0 & -1 & 1&-7 \\
0 & 0 & -1&3 \\
\end{array} \right)
$$
V takto upravenej matici sú riadky matice lineárne nezávislé.
Teda hodnosť matice $A$ je $3$.

Matice, základné operácie s maticami - Príklad 2

Matice, základné operácie s maticami

Príklad 2

Nájdite súčet naslejúcich matíc:
$$
A=
\left( \begin{array}{rrr}
5 & 1 &-2\\
7 & 1 &-3\\
3 & 2 & 0
\end{array} \right),
B=
\left( \begin{array}{rrr}
3 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 1\\
1 & 3 & 3
\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Sčítanie (odčítanie) realizujeme tak, že sčítame (odčítame) prvky na rovnakých pozíciách. Sčítať (odčítať) môžeme len matice rovnakého typu.

Keďže obe matice sú typu $3\times 3$ je ich možné sčítať. Výsledkom tohto súčtu je matica typu $3\times 3$.
$$
\left( \begin{array}{rrr} 5 & 1 &-2\\
7 & 1 &-3\\
3 & 2 & 0
\end{array} \right)
+
\left( \begin{array}{rrr}
3 & 1 & 2\\
2 & 2 & 1\\
1 & 3 & 3
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rrr}
8 & 2 & 0 \\
9 & 3 &-2\\
4 & 5 & 3
\end{array}\right)
$$

Matice, základné operácie s maticami - Príklad 1

Matice, základné operácie s maticami

Príklad 1

Pre aké reálne čísla $x,y$ platí:
$$
\left( \begin{array}{cc}
2x+5y &4 \\
9 &2y+1
\end{array} \right) =
\left(\begin{array}{cc}
12x+9 & 4 \\
 9 &3\end{array} \right)
$$

Riešenie:

Dve matice sa rovnajú vtedy a len vtedy, ak sa rovnajú prvky na rovnakých pozíciách.
$$ \left( \begin{array}{cc}
2x+5y &4\\
9 &2y+1
\end{array} \right) =
\left( \begin{array}{cc}
12x+9 & 4 \\
9 &3
\end{array} \right)
$$ Teda, je potrebné overiť za akých podmienok platia nasledujúce rovnosti:
\begin{eqnarray}
2x+5y&=&12x+9\\
4&=&4\\
9&=&9\\
2y+1&=&3
\end{eqnarray}
Vidíme, že druhá a tretia rovnosť je triviálne splnená. Ostáva riešiť nasledujúcu sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych.

\begin{eqnarray}
2x+5y&=&12x+9\\
2y+1&=&3
\end{eqnarray}
Z poslednej rovnice dostávame $y=1$
a z prvej rovnice $x=-\frac{2}{5}$.

Záver:
$$
\left( \begin{array}{rr}
\frac{21}{5}& 4 \\
9 &3
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{rr}
\frac{21}{5} &4 \\
9 &3
\end{array} \right)
$$