Určitý integrál - Príklad 1

Určitý integrál

Newton-Leibnizova formula
Nasledujúca, tzv. Newton-Leibnizova formula (ďalej iba N-L formula) charakterizuje vzťah medzi určitým a neurčitým integrálom a slúži pri výpočte určitého integrálu.
$$
\int\limits_a^b{f(x)\ dx}= \left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a),
$$
kde $F(x)$ je primitívna funkcia k funkcii $f(x)$ na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$, t.j. platí $F^{\prime}(x)=f(x)$ pre všetky $x\in\left\langle a,b\right\rangle$.

Príklad 1

Vypočítajte určitý integrál
$$
\int\limits_{-1}^{4}{x^2\ \mathrm{d}x}
$$

Riešenie:

Vypočítame primitívnu funkciu k funkcii $x^2$ a následne použijeme Newton-Leibnizovu formulu na výpočet určitého integrálu.
$$
\int{x^2 \ \mathrm{d}x}=\frac{x^3}{3}+C
$$
Pri výpočte určitého integrálu pomocou Newton-Leibnizovej formuly nie je nutné do vzorca dosadzovať integračnú konštantu $C$. Keďže pri dosadení do N-L vzorca sa táto integračná konštanta odčíta.
$$
\int\limits_{-1}^{4}{x^2\ \mathrm{d}x}=\left[\frac{x^3}{3}+C\right]_{-1}^4=\frac{4^3}{3}+C-\left(\frac{(-1)^3}{3}+C\right)=\frac{4^3}{3}- \frac{(-1)^3}{3}=\frac{65}{3}.
$$

Určitý integrál - Príklad 5

Určitý integrál

Geometrická aplikácia určitého integrálu

Nech funkcie $f(x)$ a $g(x)$ sú spojité na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a platí $g(x)\leq f(x)$. Plošný obsah $S$ množiny bodov v rovine, ktoré spájajú nerovnosti $$a\leq x\leq b\ \text{ a }\ g(x)\leq y \leq f(x)$$ (t.j. množina bodov  medzi funkciami $g(x)$ a $f(x)$) je daný vzťahom

 $$\displaystyle S=\int\limits_{a}^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ dx}$$

Príklad 5

Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkami:
$$
y=6x-x^2,  y=0
$$

Riešenie:

Časť roviny ohraničená krivkou $y=6x-x^2$ a krivkou $y=0$ je znázornená na nasledujúcom obrázku:

Priamka $y=0$ pretne parabolu $y=6x-x^2$ v dvoch bodoch: v bode $[0;0]$ a v bode $[6;0]$.

Použijeme vzťah na výpočet obsahu časti roviny ohraničenej krivkami:
$$
 S=\int\limits_{a}^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ dx}
$$
$$
 S=\int\limits_0^6{\left(6x-x^2-0\right)\ dx}= \left[\frac{6x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^6= \frac{216}{2}-\frac{216}{3}=\frac{216}{6}=36.
$$