Derivácia funkcie

Úloha 34. Vypočítajte deriváciu funkcie $$f(x)=-2\arctan{\sqrt{\frac{3-x}{x-1}}}.$$

Riešenie:
$$f^{\prime}(x)= -2\frac{1}{1+\left(\frac{3-x}{x-1}\right)}\cdot \frac{1}{2}\left(\frac{3-x}{x-1}\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{1-x+x-3}{(x-1)^2}=$$
$$-\frac{2(x-1)}{x-1+3-x}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-1}{3-x}}\cdot\frac{-2}{(x-1)^2}=
-\frac{2(x-1)}{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x-1}{3-x}}\cdot\frac{-2}{(x-1)^2}=$$
$$ \sqrt{\frac{x-1}{3-x}}\cdot\frac{1}{x-1}= \sqrt{\frac{1}{(3-x)(x-1)}}.$$

Úloha 35. Vypočítajte deriváciu funkcie $$g(x)=\ln\left(e^x+\sqrt{e^{2x}-1}\right)+\arctan(e^{2x}-1).$$

Riešenie:
$$g^{\prime}(x)=\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \left(e^x+\frac{2e^{2x}}{2\sqrt{e^{2x}-1}}\right)+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}=$$
$$\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \left(e^x+\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-1}}\right)+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}=$$

$$\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \left(\frac{e^x\sqrt{e^{2x}-1}}{\sqrt{e^{2x}-1}}+\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-1}}\right)+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}=$$
$$\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \frac{e^x\sqrt{e^{2x}-1}+e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-1}}+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}=$$
$$\frac{1}{e^x+\sqrt{e^{2x}-1}}\cdot \frac{e^x(\sqrt{e^{2x}-1}+e^x)}{\sqrt{e^{2x}-1}}+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}= \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}-1}}+\frac{2e^{2x}}{1+\left(e^{2x}-1\right)^2}.$$

Geometrický význam derivácie funkcie - Príklad 3

Geometrický význam derivácie funkcie 

Príklad 3

Nájdite rovnicu dotyčnice ku krivke $ y= \ln x$, ktorá je kolmá na priamku $ x+2y-5=0$.

Riešenie:

Označme dotyčnicu ku krivke $y= \ln x$ písmenom $t$ a priamku $ x+2y-5=0$ písmenom $p$.

Priamka $p$ je daná všeobecnou rovnicou. Upravíme danú rovnicu do smernicového tvaru, t.j. $y=kx+g$, kde číslo $k$ je smernicou priamky a $g$ je číslo. Dostávame
$$\begin{array}{rcl}
x+2y-5&=&0\\
2y&=&5-x\\
y&=&\frac{5-x}{2}\\
y&=&\frac{5}{2}-\frac{x}{2}\\
y&=&-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\\
\end{array}$$

Keďže dotyčnica $t$ je kolmá na priamku $p$ o ich smerniciach platí
$$k_t\cdot k_p=-1.$$
Teda smernica dotyčnice je
$$\begin{array}{rcl}
 k_t\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1\\
 k_t=2\\
\end{array}$$

Priamka $t$ a krivka $f: y= \ln x$ majú jediný spoločný bod. Označme jeho súradnice takto $T=[x_0,y_0]$. 

Vieme, že derivácia funkcie $f$
$$
(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}
$$
v bode $x_0$ sa rovná smernici dotyčnice ku krivke.
Teda $ \frac{1}{x_0}=k_t$, kde  $ k_t=2$ teda $ \frac{1}{x_0}=2$ a $ x_0=\frac{1}{2}$.
Je potrebné ešte určiť druhú súradnicu dotykového bodu. Keďže $T\in f$ spĺňa rovnicu funkcie $f$:
$$\begin{array}{rcl}
y_0&=& \ln x_0\\
y_0&=& \ln \frac{1}{2}\\
\end{array}
$$
Dotykový bod má súradnice:
$$
T=\left[\frac{1}{2},\ln \frac{1}{2}\right]
$$
Vo všeobecnosti má rovnica dotyčnice tvar $y-y_0=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$.
$$\begin{array}{rcl}
y-\ln \frac{1}{2}&=&2\left(x-\frac{1}{2}\right)\\
y&=&2x-1+\ln \frac{1}{2}\\
\end{array}$$

Rovnica dotyčnice $t$ má rovnicu $y=2x+\ln \frac{1}{2}-1$.